Question

【題目】如圖，正方形OABC的頂點O在坐標原點，且OA邊和AB邊所在直線的解析式分別為：和．

（1）求正方形OABC的邊長；

（2）現有動點P、Q分別從C、A同時出發，點P沿線段CB向終點B運動，速度為每秒1個單位，點Q沿折線A→O→C向終點C運動，速度為每秒k個單位，設運動時間為2秒．當k為何值時，將△CPQ沿它的一邊翻折，使得翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形？

（3）若正方形以每秒個單位的速度沿射線AO下滑，直至頂點C落在x軸上時停止下滑．設正方形在x軸下方部分的面積為S，求S關于滑行時間t的函數關系式，并寫出相應自變量t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）5；（2）k=2或k=4；（3）．

【解析】

試題分析：（1）聯立方程組求得點A的坐標即可得到結果；

（2）有兩種情況：①Q在OA上，則CQ=PQ時能構成菱形，根據題意列出2k=4即可求得；②Q點在OC上，則PC=QC時才能構成菱形，根據題意列出2k=8即可求得；

（3）①當點A運動到點O時，t=3，當0＜t≤3時，設O′C′交x軸于點D，根據三角函數的定義tan∠DOO′=，即，求得DO′=t即可得到S=DO′OO′=tt=t2；②當點C運動到x軸上時，t=（5×）÷=4，當3＜t≤4時，設A′B′交x軸于點E由于A′O=t-5，于是得到A′E=A′O=即可得到S=（A′E+O′D）A′O′=（+t）5=．

試題解析：（1）聯立，解得，

∴A（4，3），

∴OA=，

∴正方形OABC的邊長為5；

（2）有兩種情況：

①Q在OA上，則CQ=PQ時能構成菱形，

∵PC=2，

∴AQ=4時才能構成CQ=PQ的等腰三角形，

∴2k=4，解得k=2，

②Q點在OC上，∵∠PCQ是直角，

∴只有沿這PQ邊對折才能構成菱形，且PC=QC，

∵PC=2，

∴QC=2，

∴2k=OA+OC-QC=5+5-2=8，

∴k=4，

∴當k=2或k=4時將△CPQ沿它的一邊翻折，使得翻折前后的兩個三角形組成的四邊形為菱形；

（3）①當點A運動到點O時，t=3，

當0＜t≤3時，設O′C′交x軸于點D，

則tan∠DOO′=，即，

∴DO′=t，

∴S=DO′OO′=tt=t2，

②當點C運動到x軸上時，t=（5×）÷=4，

當3＜t≤4時，設A′B′交x軸于點E，

∵A′O=t-5，

∴A′E=A′O=，

∴S=（A′E+O′D）A′O′=（A′E+O′D）A′O′=（+t）5=．