Question

【題目】已知，如圖1：△ABC中，∠B、∠C的平分線相交于點O，過點O作EF∥BC交AB、AC于E、F．

（1）直接寫出圖1中所有的等腰三角形，并指出EF與BE、CF間有怎樣的數量關系？

（2）在（1）的條件下，若AB=10，AC=15，求△AEF的周長．

（3）如圖2，若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACG的平分線CO交于點O，過O點作OE∥BC交AB于E，交AC于F，請問（1）中EF與BE、CF間的關系還是否存在，若存在，說明理由；若不存在，寫出三者新的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）等腰△OBE和等腰△OCF；EF=BE+CF；（2）25；（3）（1）中EF與BE、CF間的關系不存在，新的數量關系為：EF=BE－CF

【解析】試題分析:(1)根據角平分線的性質可得: ∠ABO=∠CBO, ∠ACO=∠BCO,根據平行線的性質可得: ∠EOB=∠CBO, ∠FOC=∠BCO,即可求證: ∠ABO=∠EOB, ∠ACO=∠FOC,可求證:EO=EB,FO=FC,即EF=EO+FO=BE+CF,(2)根據(1)中的結論可得: △AEF的周長等于AE+AF+EF=AB+AC=10+15=25,(3) 根據角平分線的性質可得: ∠ABO=∠CBO, ∠ACO=∠BCO,根據平行線的性質可得: ∠EOB=∠CBO, ∠FOC=∠BCO,即可求證: ∠ABO=∠EOB, ∠ACO=∠FOC,可求證:EO=EB,FO=FC, 即EF=EO－FO=BE－CF．

試題解析:（1）有2個等腰三角形分別是:等腰△OBE和等腰△OCF,

EF=BE+CF．

（2）△AEF的周長為AE+AF+EF=AE+AF+OE+OF=AE+AF+BE+CF=AB+AC=25,

（3）（1）中EF與BE,CF間的關系不存在,新的數量關系為:EF=BE－CF,

證明:由BO平分∠ABC及OE∥BC可證BE=EO,

由CO平分∠ACG及OE∥BC可證CF=FO,

而EO=EF+OF,則EF=EO－OF=BE－CF .