Question

【題目】【問題學習】小蕓在小組學習時問小娟這樣一個問題：已知α為銳角，且sinα= ，求sin2α的值．小娟是這樣給小蕓講解的：

構造如圖1所示的圖形，在⊙O中，AB是直徑，點C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．設∠BAC=α，則sinα= ，可設BC=x，則AB=3x，…．

【問題解決】

（1）請按照小娟的思路，利用圖1求出sin2α的值；（寫出完整的解答過程）

（2）如圖2，已知點M，N，P為⊙O上的三點，且∠P=β，sinβ= ，求sin2β的值．

Answer 1

【答案】（1）sin2α=；（2）sin2β=sin∠MON=．

【解析】

試題分析：（1）如圖1中，⊙O中，AB是直徑，點C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．設∠BAC=α，則sinα= ，可設BC=x，則AB=3x．利用面積法求出CD，在Rt△COD中，根據sin2α= ，計算即可．（2）如圖2中，連接NO，并延長交⊙O于點Q，連接MQ，MO，過點M作MR⊥NO于點R．首先證明∠MON=2∠Q=2β，在Rt△QMN中，由sinβ=，設MN=3k，則NQ=5k，易得OM=NQ= ，可得MQ==4k，由MNMQ=NQMR，求出在Rt△MRO中，根據sin2β=sin∠MON=，計算即可．

試題解析：（1）如圖1中，⊙O中，AB是直徑，點C在⊙O上，所以∠ACB=90°，作CD⊥AB于D．設∠BAC=α，則sinα=，可設BC=x，則AB=3x．

∴AC== =2x，

∵ACBC=ABCD，

∴CD= x，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA=α，

∴∠COB=2α，

∴sin2α== ．

（2）如圖2中，連接NO，并延長交⊙O于點Q，連接MQ，MO，過點M作MR⊥NO于點R．

在⊙O中，∠NMQ=90°，

∵∠Q=∠P=β，∴∠MON=2∠Q=2β，

在Rt△QMN中，∵sinβ=，

∴設MN=3k，則NQ=5k，易得OM=NQ=，

∴MQ==4k，

∵ ，

∴3k4k=5kMR

∴MR= ，

在Rt△MRO中，sin2β=sin∠MON=．