Question

如圖，在平面直角坐標系中，以坐標原點O為圓心，2為半徑畫⊙O，P是⊙O上一動點，且P在第一象限內，過點P作⊙O的切線與軸相交于點A，與軸相交于點B。
（1）點P在運動時，線段AB的長度頁在發生變化，請寫出線段AB長度的最小值，并說明理由；
（2）在⊙O上是否存在一點Q，使得以Q、O、A、P為頂點的四邊形時平行四邊形？若存在，請求出Q點的坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）線段AB長度的最小值為4
理由如下：
連接OP因為AB切⊙O于P，所以OP⊥AB
取AB的中點C，則              …………3分
當時，OC最短，
即AB最短，此時                    …………4分
（2）設存在符合條件的點Q，
如圖①，

設四邊形APOQ為平行四邊形，
因為四邊形APOQ為矩形
又因為
所以四邊形APOQ為正方形
所以，
在Rt△OQA中，根據，
得Q點坐標為（）。         …………7分
如圖②，設四邊形APQO為平行四邊形

因為OQ∥PA，，
所以，
又因為
所以，
因為 PQ∥OA，
所以 軸。
設軸于點H，
在Rt△OHQ中，根據，
得Q點坐標為（）
所以符合條件的點Q的坐標為（）或（）。

（1）如圖，設AB的中點為C，連接OP，由于AB是圓的切線，故△OPC是直角三角形，有OP＜OC，所以當OC與OP重合時，OC最短；
（2）分兩種情況：如圖（1），當四邊形APOQ是正方形時，△OPA，△OAQ都是等腰直角三角形，可求得點Q的坐標為（，﹣），如圖（2），可求得∠QOP=∠OPA=90°，由于OP=OQ，故△OPQ是等腰直角三角形，可求得點Q的坐標為（﹣，）．