Question

【題目】在△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°．以AB為斜邊作等腰直角三角形ADB．點P是直線DB上一個動點，連接AP，作PE⊥AP交BC所在的直線于點E．

（1）如圖1，點P在BD的延長線上，PE⊥EC，AD=1，直接寫出PE的長；
（2）點P在線段BD上（不與B，D重合），依題意，將圖2補全，求證：PA=PE；
（3）點P在DB的延長線上，依題意，將圖3補全，并判斷PA=PE是否仍然成立．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵AD=DB=1，∠ADB=90°，

∴∠ABP=45°，AB= = ，

∵PE⊥AP，AB⊥BC，

∴PA∥EC，

∴PA⊥AB，

∴四邊形ABEP是矩形，

∵∠ABP=45°，

∴PA=AB，

∴四邊形ABEP是正方形，

∴PE=AB=

（2）

解：∵△ABC和△ADB是等腰直角三角形，

∴∠ADB=90°，∠DAB=∠DBA=45°，

∴∠PBN=45°

∴PE⊥AP，∠DAP=∠BPE=90°﹣∠DPA，

∵∠PAM=45°﹣∠DAP，∠PEN=45°﹣∠BPE，

∴∠PAM=∠PEN，

過P作PM⊥AB于點M，過P作PN⊥BC于點N，

則PM=PN，∠BPN=45°，

在△APM和△EPN中， ，

∴△APM≌△EPN，

∴PA=PE；

（3）

解：∵△ABC和△ADB是等腰直角三角形，

∴∠ABD=45°，

∴∠PBN=45°，∠ABC=90°，

過P作PM⊥AB于點M，過P作PN⊥BC于點N，

則四邊形BMPN是矩形，

∵∠NBP=45°，

∴四邊形BMPN是正方形，

∴PM=PN，

∵AB⊥BC，

∴∠BAN=∠APN，

∵AP⊥PE，

∴∠APN=∠E，

∴∠BAP=∠E，

在△AMP與△ENP中， ，

∴△AMP≌△ENP，

∴AP=PE．

【解析】（1）根據等腰直角三角形的性質得到∠ABP=45°，根據勾股定理得到AB= = ，推出四邊形ABEP是矩形，得到四邊形ABEP是正方形，于是得到結論；（2）根據等腰直角三角形的性質得到∠ADB=90°，∠DAB=∠DBA=45°，求得∠PBN=45°過P作PM⊥AB于點M，過P作PN⊥BC于點N，于是得到PM=PN，∠BPN=45°根據全等三角形的性質即可得到結論；（3）根據等腰直角三角形的性質得到∠ABD=45°，得到∠PBN=45°，∠ABC=90°，過P作PM⊥AB于點M，過P作PN⊥BC于點N，得到四邊形BMPN是矩形，推出四邊形BMPN是正方形，得到PM=PN，根據全等三角形的性質即可得到結論．
【考點精析】掌握等腰直角三角形和正方形的判定方法是解答本題的根本，需要知道等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；先判定一個四邊形是矩形，再判定出有一組鄰邊相等；先判定一個四邊形是菱形，再判定出有一個角是直角．