Question

【題目】如圖1，△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∠C=90°，將△CDE繞點C逆時針旋轉一個角度α（0°＜α＜90°），使點A，D，E在同一直線上，連接AD，BE．

（1）①依題意補全圖2；
②求證：AD=BE，且AD⊥BE；
③作CM⊥DE，垂足為M，請用等式表示出線段CM，AE，BE之間的數量關系；
（2）如圖3，正方形ABCD邊長為 ，若點P滿足PD=1，且∠BPD=90°，請直接寫出點A到BP的距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：①依照題意補全圖2，如下圖（一）所示．

②證明：∵∠ACD+∠DCB=∠ACB=90°，∠BCE+∠DCB=∠DCE=90°，

∴∠ACD=∠BCE．

∵△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，

∴AC=BC，DC=EC．

在△ADC和△BEC中，有 ，

∴△ADC≌△BEC（SAS），

∴AD=BE，∠BEC=∠ADC．

∵點A，D，E在同一直線上，△CDE是等腰直角三角形，

∴∠CDE=∠CED=45°，∠ADC=180°﹣∠CDE=135°，

∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=135°﹣45°=90°，

∴AD⊥BE．

③依照題意畫出圖形，如圖（二）所示．

∵S△ABC+S△EBC=S△CAE+S△EAB，

即 ACBC+ BECM= AE（CM+BE），

∴AC2﹣AEBE=CM（AE﹣BE）．

∵△CDE為等腰直角三角形，

∴DE=2CM，

∴AE﹣BE=2CM

（2）

解：依照題意畫出圖形（三）．

其中AB= ，DP=1，BD= AB=

由勾股定理得：BP= =3．

結合（1）③的結論可知：

AM= = =1．

故點A到BP的距離為1

【解析】（1）①根據旋轉的特性畫出圖象；②由∠ACD、∠BCE均與∠DCB互余可得出∠ACD=∠BCE，由△ABC和△CDE都是等腰直角三角形可得出AC=BC、DC=EC，結合全等三角形的判定定理SAS即可得出△ADC≌△BEC，從而得出AD=BE，再由∠BCE=∠ADC=135°，∠CED=45°即可得出∠AEB=90°，即證出AD⊥BE；③依照題意畫出圖形，根據組合圖形的面積為兩個三角形的面積和可用AE，BE去表示CM；（2）根據題意畫出圖形，比照（1）③的結論，套入數據即可得出結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等腰直角三角形的相關知識，掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°．