Question

【題目】對某一個函數給出如下定義：若存在實數M＞0，對于任意的函數值y，都滿足﹣M≤y≤M，則稱這個函數是有界函數，在所有滿足條件的M中，其最小值稱為這個函數的邊界值．例如，如圖中的函數是有界函數，其邊界值是1．

（1）分別判斷函數 y=（x＞0）和y=x+1（﹣4≤x≤2）是不是有界函數？若是有界函數，求其邊界值；

（2）若函數y=﹣x+1（a≤x≤b，b＞a）的邊界值是2，且這個函數的最大值也是2，求b的取值范圍；

（3）將函數 y=x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的圖象向下平移m個單位，得到的函數的邊界值是t，當m在什么范圍時，滿足≤t≤1？

Answer 1

【答案】（1）函數y=（x＞0）不是有界函數．y=x+1（﹣4≤x≤2）是有界函數．邊界值為：2+1=3；

（2）﹣1＜b≤3；

（3）0≤m≤或≤m≤1．

【解析】

試題分析：（1）根據有界函數的定義和函數的邊界值的定義進行答題；

（2）根據函數的增減性、邊界值確定a=﹣1；然后由“函數的最大值也是2”來求b的取值范圍；

（3）需要分類討論：m＜1和m≥1兩種情況．由函數解析式得到該函數圖象過點（﹣1，1）、（0，0），根據平移的性質得到這兩點平移后的坐標分別是（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）；最后由函數邊界值的定義列出不等式≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，易求m取值范圍：0≤m≤或≤m≤1．

解：（1）根據有界函數的定義知，函數y=（x＞0）不是有界函數．

y=x+1（﹣4≤x≤2）是有界函數．邊界值為：2+1=3；

（2）∵函數y=﹣x+1的圖象是y隨x的增大而減小，

∴當x=a時，y=﹣a+1=2，則a=﹣1

當x=b時，y=﹣b+1．則，

∴﹣1＜b≤3；

（3）若m＞1，函數向下平移m個單位后，x=0時，函數值小于﹣1，此時函數的邊界t＞1，與題意不符，故m≤1．

當x=﹣1時，y=1 即過點（﹣1，1）

當x=0時，y最小=0，即過點（0，0），

都向下平移m個單位，則

（﹣1，1﹣m）、（0，﹣m）

≤1﹣m≤1或﹣1≤﹣m≤﹣，

∴0≤m≤或≤m≤1．