Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，以BC為直徑的正方形內，作半圓O，AE切半圓于點F交CD于E

(1) 求證：AO⊥EO

(2) 連接DF，求tan∠FDE的值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）tan∠FDE的值是

【解析】試題分析：(1)、根據切線的性質得出∠BAO＝∠FAO，∠CEO＝∠FEO，根據四邊形的性質得出∠BAE＋∠CEA＝180°，從而說明∠DAF＋∠OEF＝90°，得出垂直；(2)、設OB＝OC＝2，則AB＝4，根據△AOB和△OEC全等得出CE＝EF＝1，DE＝3，AE＝5，過點F作FG⊥DE于G，則FG∥AD，根據平行線截線段成比例得出FG、EG和DG的長度，最后根據三角函數的計算法則得出答案.

試題解析：(1) ∵∠ABC＝∠DCB＝90° ∴AD、CD均為半圓的切線

連接OF ∵AE切半圓于E ∴∠BAO＝∠FAO，∠CEO＝∠FEO ∵∠BAE＋∠CEA＝180°

∴∠DAF＋∠OEF＝90° ∴∠AOE＝90° ∴AO⊥EO

(2) 設OB＝OC＝2，則AB＝4 ∵Rt△AOB∽Rt△OEC ∴CE＝EF＝1，DE＝3，AE＝5

過點F作FG⊥DE于G ∴FG∥AD

∴ 即 ∴FG＝，EG＝，DG＝ ∴tan∠FDE＝