Question

【題目】如圖1，矩形ABCD的兩條邊在坐標軸上，點D與坐標原點O重合，且AD=8，AB=6．如圖2，矩形ABCD沿OB方向以每秒1個單位長度的速度運動，同時點P從A點出發也以每秒1個單位長度的速度沿矩形ABCD的邊AB經過點B向點C運動，當點P到達點C時，矩形ABCD和點P同時停止運動，設點P的運動時間為t秒．

（1）當t=5時，請直接寫出點D、點P的坐標；

（2）當點P在線段AB或線段BC上運動時，求出△PBD的面積S關于t的函數關系式，并寫出相應t的取值范圍；

（3）點P在線段AB或線段BC上運動時，作PE⊥x軸，垂足為點E，當△PEO與△BCD相似時，求出相應的t值．

Answer 1

【答案】（1）D（﹣4，3），P（﹣12，8）；（2）；（3）6．

【解析】試題分析：（1）延長CD交x軸于M，延長BA交x軸于N，則CM⊥x軸，BN⊥x軸，AD∥x軸，BN∥DM，由矩形的性質得出和勾股定理求出BD，BO=15，由平行線得出△ABD∽△NBO，得出比例式，求出BN、NO，得出OM、DN、PN，即可得出點D、P的坐標；

（2）當點P在邊AB上時，BP=6﹣t，由三角形的面積公式得出S=BPAD；②當點P在邊BC上時，BP=t﹣6，同理得出S=BPAB；即可得出結果；

（3）設點D（， ）；分兩種情況：①當點P在邊AB上時，P（， ），由和時；分別求出t的值；

②當點P在邊BC上時，P（， ）；由和時，分別求出t的值即可．

試題解析：（1）延長CD交x軸于M，延長BA交x軸于N，如圖1所示：則CM⊥x軸，BN⊥x軸，AD∥x軸，BN∥DM，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，CD=AB=6，BC=AD=8，∴BD==10，當t=5時，OD=5，∴BO=15，∵AD∥NO，∴△ABD∽△NBO，∴，即，∴BN=9，NO=12，∴OM=12﹣8=4，DM=9﹣6=3，PN=9﹣1=8，∴D（﹣4，3），P（﹣12，8）；

（2）如圖2所示：當點P在邊AB上時，BP=6﹣t，∴S=BPAD=（6﹣t）×8=﹣4t+24；

②當點P在邊BC上時，BP=t﹣6，∴S=BPAB=（t﹣6）×6=3t﹣18；

綜上所述： ；

（3）設點 D（， ）；

①當點P在邊AB上時，P（， ），若時， ，解得：t=6；

若時， ，解得：t=20（不合題意，舍去）；

②當點P在邊BC上時，P（， ），若時， ，解得：t=6；

若時， ，解得： （不合題意，舍去）；

綜上所述：當t=6時，△PEO與△BCD相似．