Question

【題目】已知，拋物線y＝m與y軸交于點C，與x軸交于點A和點B（其中點A在y軸左側，點B在y軸右側）．

（1）若拋物線y＝m的對稱軸為直線x＝1，求拋物線的解析式；

（2）如圖1，∠ACB＝90°，點P是拋物線y＝m上的一點，若S△BCP＝，求點P的坐標；

（3）如圖2，過點A作AD∥BC交拋物線于點D，若點D的縱坐標為﹣m，求直線AD的解析式．

Answer 1

【答案】（1）；（2）P坐標為（，）或（，）；（3）

【解析】

（1）由對稱軸x＝1，可求解；

（2）先求出點A，點B，點C坐標，由勾股定理可求m的值，即可求拋物線解析式，在y軸上選取點Q（0，3），則，過Q作PQ∥BC，則直線與拋物線的交點就是點P，可求PQ解析式，聯立方程組，可求點P坐標；

（3）由題意可得A（m，0），B（1，0），點C（0，m），可求出BC解析式，AD解析式，聯立方程組，可求點D坐標，代入解析式可m的值，即可求解．

解：（1）∵拋物線y＝m的對稱軸為直線x＝1，

∴對稱軸直線為x==1，

∴m＝1，

∴拋物線解析式為y=．

（2）∵y＝m=，

∴當y＝0時，x1＝1，x2＝m，

∴點A（m，0），點B（1，0），

∴AB＝1﹣m，

∵C點坐標為（0，m），點A（m，0），點B（1，0），

∴AB2＝（m﹣1）2，AC2+BC2=1+()2+m2+()2＝1+m2，

∵∠ACB＝90°，

∴AB2＝AC2+BC2，

∴1+m2＝（m﹣1）2，

∴m＝﹣4，

∴拋物線解析式為y=x2+x-2.

A（﹣4，0），B（1，0）C（0，﹣2），

∴.

如圖1，在y軸上選取點Q（0，3），則，過Q作PQ∥BC，則直線與拋物線的交點就是點P，

∵B（1，0）C（0，﹣2），

∴直線BC解析式為：y＝2x﹣2，

則直線PQ解析式為：y＝2x+3，

∴

解得x1=,x2=.

∴P坐標為（，4-）或（，4+）。

（3）由題意知-m＞0，

∴m＜0，

∴A（m，0），B（1，0），且點C（0，m），

∴直線BC解析式為：y＝﹣mx+m，

∴AD解析式為： y=﹣m(x-m).

∴

解得：x1＝1﹣m，x2＝m（舍，這是A點的橫坐標），

∴點D（1﹣m，﹣m）

∴-m(1-m-m)=m,

解得m＝-，

∴AD的解析式為y=.