Question

【題目】在矩形AOBC中，OB=6，OA=4，分別以OB，OA所在直線為x軸和y軸建立如圖所示的平面直角坐標系，F是BC上的一個動點（不與B、C重合），過F點的反比例函數（k＞0）的圖象與AC邊交于點E，連接OE，OF，EF．

（1）若tan∠BOF=，求F點的坐標；

（2）當點F在BC上移動時，△OEF與△ECF的面積差記為S，求當k為何值時，S有最大值，最大值是多少？

（3）是否存在這樣的點F，使得△OEF為直角三角形？若存在，求出此時點F坐標；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）. F（6，）；（2）當k=12時，S最大為6；（3）F（6，）.

【解析】

（1）由tan∠BOF的值求出線段BF的長度，進而得出點F的坐標；（2）設B（6，），分別表示出AE、CE、BF、CF的長度，進而表示出△OEF與△ECF的面積，最后表示出S即可；（3）分類討論，根據相似三角形的判定與性質列方程求解即可；

（1）tan∠BOF==，

∴BF=，

∴F（6，）；

（2）設B（6，），

令y=4，x=，

∴E（，4），

∴AE=，CE=6﹣，BF=，CF=4﹣，

∴S△OEF=4×6﹣﹣﹣×（6﹣）×（4﹣）=﹣k2﹣2k+12，

S△ECF=×（6﹣）×（4﹣）=k2﹣k+12，

∴S△OEF﹣S△ECF=﹣（k﹣12）2+6.

當k=12時，S最大為6；

（3）①當∠OEF=90°時，

∠AEO+∠CEF=90°，

∵∠CEF+∠CFE=90°，

∴∠AEO=∠CFE，

∵∠EAO=∠C=90°，

∴△EAO∽△FCE，

∴=，即=，

解得k=24或，

∴F（4，6）（舍去）或（6，），

∴F（6，）；

②當∠EFO=90°時，

同理可證△ECF∽△FBO，

∴=，即=，

解得k=54或24，

∴F（4，6）或（6，9），都不符合題意，

∴F（6，）.