Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別是邊AD，BC的中點，連接DF，過點E作EH⊥DF，垂足為H，EH的延長線交DC于點G．

（1）猜想DG與CF的數量關系，并證明你的結論；

（2）過點H作MN∥CD，分別交AD，BC于點M，N，若正方形ABCD的邊長為10，點P是MN上一點，求△PDC周長的最小值．

Answer 1

【答案】（1）結論：CF=2DG，理由見解析；（2）△PCD的周長的最小值為10+2．

【解析】

（1）結論：CF=2DG．只要證明△DEG∽△CDF即可；

（2）作點C關于NM的對稱點K，連接DK交MN于點P，連接PC，此時△PDC的周長最短．周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK.

（1）結論：CF=2DG．

理由：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，

∵DE=AE，

∴AD=CD=2DE，

∵EG⊥DF，

∴∠DHG=90°，

∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，

∴∠CDF=∠DEG，

∴△DEG∽△CDF，

∴==，

∴CF=2DG．

（2）作點C關于NM的對稱點K，連接DK交MN于點P，連接PC，

此時△PDC的周長最短．周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．

由題意：CD=AD=10，ED=AE=5，DG=，EG=，DH==，

∴EH=2DH=2，

∴HM==2，

∴DM=CN=NK==1，

在Rt△DCK中，DK===2，

∴△PCD的周長的最小值為10+2．