Question

【題目】如圖，已知點 ，經過A、B的直線l以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動，與此同時，點P從點B出發，在直線l上以每秒1個單位的速度沿直線l向右下方向作勻速運動．設它們運動的時間為t秒．

（1）用含t的代數式表示點P的坐標；
（2）過O作OC⊥AB于C，過C作CD⊥x軸于D，問：t為何值時，以P為圓心、1為半徑的圓與直線OC相切？并說明此時⊙P與直線CD的位置關系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：作PF⊥y軸于F．

∵點 ，

∴∠BAO=30°．

在直角三角形PFB′中，PB′=t，∠B′PF=30°，

則B′F= ，PF= ．

又BB′=t，

∴OF=OB﹣BB′﹣B′F=6﹣t﹣ =6﹣ t，

則P點的坐標為（ ，6﹣ t）．

（2）

解：此題應分為兩種情況：

①當⊙P和OC第一次相切時，

設直線B′P與OC的交點是M，

根據題意，知∠BOC=∠BAO=30°．

則B′M= OB′=3﹣ ，

則PM=3﹣ t．

根據直線和圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑，得

3﹣ t =1，t= ．

此時⊙P與直線CD顯然相離；

②當⊙P和OC第二次相切時，

則有 t﹣3=1，t= ．

此時⊙P與直線CD顯然相交；

答：當t= 或 時⊙P和OC相切，t= 時⊙P和直線CD相離，當t= 時⊙P和直線CD相交．

【解析】（1）過點P向y軸引垂線．根據已知點A、B的坐標可以求得∠BAO=30°，從而可以結合題意，利用解直角三角形的知識進行求解；（2）此題應分作兩種情況考慮：①當P位于OC左側，⊙P與OC第一次相切時，易證得∠COB=∠BAO=30°，設直線l與OC的交點為M，根據∠BOC的度數，即可求得B′M、PM的表達式，而此時⊙P與OC相切，可得PM=1，由此可列出關于t的方程，求得t的值，進而可判斷出⊙P與CD的位置關系；②當P位于OC右側，⊙P與OC第二次相切時，方法與①相同．