Question

如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角．點D為射線BC上一動點，連接AD，以AD為一邊且在AD的右側作正方形ADEF．解答下列問題：
（1）如果AB=AC，∠BAC=90°．
①當點D在線段BC上時（與點B不重合），如圖2，線段CF、BD之間的位置關系為

 

，數量關系為

 

；
②當點D在線段BC的延長線上時，如圖3，①中的結論是否仍然成立，為什么？

（2）①如果AB=AC，∠BAC≠90°，點D在射線BC上運動．在圖4中同樣作出正方形ADEF，你發現（1）問中的結論是否成立？不用說明理由；
②如果∠BAC=90°，AB≠AC，點D在射線BC上運動．在圖5中同樣作出正方形ADEF，你發現（1）問中的結論是否成立？不用說明理由；

（3）要使（1）問中CF⊥BC的結論成立，試探究：△ABC應滿足的一個條件，（點C、F重合除外）畫出相應圖形（畫圖不寫作法），并說明理由；
（4）在（3）問的條件下，設正方形ADEF的邊DE與線段CF相交于點P，設AC=2

2

，BC=

3

2

，求線段CP長的最大值．

Answer 1

分析：（1）當CF與BD位置關系為互相垂直，數量關系是相等．首先證明△DAB≌△FAC，然后推出∠ACF=45°，∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°，求出CF⊥BD；
（2）根據題意畫出圖形來理解．學會數形結合解答問題．
（3）過點A作AG⊥AC，證明△GAD≌△CAF后可證得CF⊥BD；
（4）作AQ⊥BC交CB的延長線于點Q，利用勾股定理求出AQ=CQ=2，證明△AQD∽△DCP，利用線段比求出CP的值．

解答：解：（1）①CF與BD位置關系是垂直、數量關系是相等；（1分）

②當點D在BC的延長線上時①的結論仍成立（如圖3）．
由正方形ADEF得AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠DAF=∠BAC，
∴∠DAB=∠FAC，
又AB=AC，
∴△DAB≌△FAC，
∴CF=BD，
∠ACF=∠ABD．
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=45°，∴∠ACF=45°，
∴∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°．即CF⊥BD．（3分）
（2）①畫出圖形（如圖4），判斷：（1）中的結論不成立．

②畫出圖形（如圖5），判斷：（1）中的結論不成立．（4分）

（3）當∠BCA=45°時，CF⊥BD（如圖6）．
理由是：過點A作AG⊥AC交BC于點G，
∴AC=AG．
∵∠BCA=45°，
∴∠AGD=45°，
∴△GAD≌△CAF
∴∠ACF=∠AGD=45°．
∠BCF=∠ACB+∠ACF=90°
即CF⊥BD．（5分）

（4）當具備∠BCA=45°時，
過點A作AQ⊥BC交CB的延長線于點Q，（如圖7），
∵DE與CF交于點P時，此時點D位于線段CQ上，
∵∠BCA=45°，AC=2

2

，
∴由勾股定理可求得AQ=CQ=2．
設CD=x，∴DQ=2-x，
∵∠ADB+∠ADE+∠PDC=180°
且∠ADE=90°，
∴∠ADQ+∠PDC=90°，
又∵在直角△PCD中，∠PDC+∠DPC=90°
∴∠ADQ=∠DPC，
∵∠AQD=∠DCP=90°
∴△AQD∽△DCP，
∴

CP

DQ

=

CD

AQ

，∴

CP

2-x

=

x

2

．
∴CP=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

．（7分）
∵0＜x≤

3

2

，
∴當x=1時，CP有最大值

1

2

．（8分）

點評：本題綜合考查的是相似三角形的判定，勾股定理，正方形的性質等有關知識．