Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為4，將△ADE和△CDF分別沿直線DE和DF折疊后，點A和點C同時落在點H處，且E是AB中點，射線DH交AC于G，交CB于M，則GH的長是__．

Answer 1

【答案】

【解析】

延長DH交BC于M，根據折疊的性質得到DH＝AD＝4，∠DAE＝∠DHE＝∠DCF＝∠DHF＝90°，EH＝AE＝2，CF＝FH，進而可證得點E、H、F在同一直線上，設CF＝FH＝x，則BF＝4﹣x，EF＝2+x，根據勾股定理得到CF＝FH＝，再根據相似三角形的判定和性質定理即可得到答案．

解：延長DH交BC于M，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD＝AD＝BC＝4，∠DAE＝∠BCD＝90°，AD∥BC，

∵E為AB的中點，

∴AE＝BE＝AB＝2，

∵將△ADE和△CDF分別沿直線DE和DF折疊后，點A和點C同時落在點H處，

∴DH＝AD＝4，∠DAE＝∠DHE＝∠DCF＝∠DHF＝90°，EH＝AE＝2，CF＝FH，

∴∠DHE+∠DHF＝180°，

∴點E、H、F在同一直線上，

設CF＝FH＝x，

則BF＝4﹣x，EF＝2+x，

在Rt△BEF中，由勾股定理得：

EF2＝BF2+BE2，

即（2+x）2＝（4﹣x）2+22，

解得：x＝，

∴CF＝FH＝，EF＝，BF＝，

∵∠FHM＝∠B＝90°，∠HFM＝∠BFE，

∴△FHM∽△FBE，

∴，

即，

解得：MF＝，MH＝1，

∴DM＝4+1＝5，CM＝+＝3，

∵AD∥BC，

∴△AGD∽△CGM，

∴，

即，

解得：DG＝，

∴GH＝DH﹣DG＝4﹣＝，

故答案為：．