Question

【題目】在正方形ABCD中，過點B作直線l，點E在直線l上，連接CE，DE，CE=BC，過點C作CF⊥DE于點F，交直線l于點H，當l在如圖①的位置時，易證：BH+EH=CH（不需證明）．

（1）當l在如圖②的位置時，線段BH，EH，CH之間有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，并給予證明；

（2）當l在如圖③的位置時，線段BH，EH，CH之間有怎樣的數量關系？寫出你的猜想，不必證明．

Answer 1

【答案】（1）BH﹣EH=CH（2）EH﹣BH=CH

【解析】分析: （1）先判斷出∠BCG=∠ECG=∠BCE，再判斷出∠ECF=∠DCF=∠DCE，得出∠GCH=∠GCE-∠ECF=（∠BCE-∠DCE）=45°，即：△CGH是等腰直角三角形，進而得出CH=GH進而判斷出BG=EG=BE即可得出結論；

（2）同（1）的方法即可得出結論．

詳解:

（1）BH﹣EH=CH；

理由如下：

過點C作CG⊥BH于G，

如圖②所示，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴CB=CD，∠BCD=90°，

∵CE=CB，

∴∠BCG=∠ECG=∠BCE，

∵CE⊥DE，CD=CB=CE，

∴∠ECF=∠DCF=∠DCE，

∴∠GCH=∠GCE﹣∠ECF=（∠BCE﹣∠DCE）=45°

∴△CGH是等腰直角三角形，

∴CH=GH，

∵CB=CE，CG⊥BE，

∴BG=EG=BE，

∴BH﹣EH=BG+GH﹣EH=BG+EG﹣EH﹣EH=2GH=CH

（2）猜想：EH﹣BH=CH，

理由：如圖③，過點C作CG⊥BE于G，

同（1）得，△CGH是等腰直角三角形，

CH=GH，

∵CB=CE，CG⊥BE，

∴BG=EG=BE，

∴EH﹣BH=HG+GE﹣（BG﹣HG）=2HG=CH．

點睛: 本題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質、旋轉的性質、等腰三角形的性質、等腰直角三角形的判定與性質等知識；求出∠GCH=45°是解本題的關鍵.