Question

如圖，在第一象限內作射線OC，與x軸的夾角為30°，在射線OC上取一點A，過點A作AH⊥x軸于點H，得到△AOH．在拋物線y=x²（x＞0）上取點P，在y軸上取點Q，使得以P，O，Q為頂點的三角形△POQ與△AOH全等，則符合條件的△AOH的面積是

3

2

3

，2

3

，

1

18

3

，

2

9

3

．

Answer 1

分析：由于兩三角形的對應邊不能確定，故應分四種情況進行討論：
①∠POQ=∠OAH=60°，此時A、P重合，可聯立直線OA和拋物線的解析式，即可得A點坐標，由三角形的面積公式即可得出結論；
②∠POQ=∠AOH=30°，此時∠POH=60°，即直線OP：y=

3

x，聯立拋物線的解析式可得P點坐標，進而可求出OQ、PQ的長，由于△POQ≌△AOH，那么OH=OQ、AH=PQ，由此得到點A的坐標，由三角形的面積公式即可得出結論；
③當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時，此時△QOP≌△AOH，得到點A的坐標，由三角形的面積公式即可得出結論；
④當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時△OQP≌△AOH，得到點A的坐標，由三角形的面積公式即可得出結論．

解答：解：①如圖1，當∠POQ=∠OAH=60°，若以P，O，Q為頂點的三角形與△AOH全等，那么A、P重合；
∵∠AOH=30°，
∴直線OA：y=

3

3

x，聯立拋物線的解析式，
∴

y= 3 3 x y=x2

，
解得

x=0 y=0

或

x= 3 3 y= 1 3

故A（

3

3

，

1

3

），
∴S_△AOH=

1

2

×

3

3

×

1

3

=

3

18

；
②當∠POQ=∠AOH=30°，此時△POQ≌△AOH；
易知∠POH=60°，則直線OP：y=

3

x，聯立拋物線的解析式，
得

y= 3 x y=x2

，解得

x=0 y=0

或

x= 3 y=3

，
∴P（

3

，3），A（3，

3

）
∴S_△AOH=

1

2

×3×

3

=

3 3

2

；
③如圖3，當∠OPQ=90°，∠POQ=∠AOH=30°時，此時△QOP≌△AOH；
易知∠POH=60°，則直線OP：y=

3

x，聯立拋物線的解析式，
得，

y= 3 x y=x2

，解得

x=0 y=0

或

x= 3 y=3

，
∴P（

3

，3），
∴OP=2

3

，QP=2，
∴OH=OP=2

3

，AH=QP=2，
∴A（2

3

，2），
∴S_△AOH=

1

2

×2

3

×2=2

3

；
④如圖4，當∠OPQ=90°，∠POQ=∠OAH=60°，此時△OQP≌△AOH；
此時直線OP：y=

3

3

x，聯立拋物線的解析式，
得

y= 3 3 x y=x2

，解得

x=0 y=0

或

x= 3 3 y= 1 3

，
∴P（

3

3

，

1

3

），
∴QP=

2 3

3

，OP=

2

3

，
∴OH=QP，QP=

2 3

3

，AH=OP=

2

3

，
∴A（

2 3

3

，

2

3

），
∴S_△AOH=

1

2

×

2 3

3

×

2

3

=

2 3

9

．
綜上所述，△AOH的面積為：

3

2

3

，2

3

，

1

18

3

，

2

9

3

．
故答案為：

3

2

3

，2

3

，

1

18

3

，

2

9

3

．

點評：本題考查的是二次函數綜合題，涉及到全等三角形的判定和性質以及函數圖象交點坐標的求法，解答此題時一定要注意進行分類討論．