Question

已知：如圖⊙O₁與⊙O₂相交于A、B，P是⊙O₁上一點，連接PA、PB并延長，分別交⊙O₂于C、D，點E是

CD

上的任意一點．PE分別交⊙O₂、⊙O₁、CD于F、G、H．求證：PF•PE=PG•PH．

Answer 1

分析：此題要通過構造相似三角形求解，連接AB、AG，通過證△APG∽△HPC，得到PG•PH=PA•PC；由割線定理得PA•PC=PF•PE，等量代換后即可求得所在的結論．

解答：證明：連接AB、AG．
則∠ABP=∠AGP，∠ABP=∠C，
∵∠AGP=∠C，
∴∠1=∠1，
∴△APG∽△HPC．
∵

PA

PG

=

PH

PC

，
∴PA•PC=PG•PH．
∵PA•PC=PF•PE，
∴PF•PE=PG•PH．

點評：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質，能夠證得△PAG∽△PHC是解答此題的關鍵．