Question

已知，如圖⊙O₁與⊙O₂外切于點A，BC是⊙O₁和⊙O₂的公切線，B、C為切點．
（1）求證：AB⊥AC；
（2）若r₁、r₂分別為⊙O₁、⊙O₂的半徑，且r₁=2r₂．求的值．

Answer 1

（1）證明：過點A作兩圓的內公切線交BC于點O．
∵OA、OB是⊙O₁的切線，
∴OA=OB．
同理OA=OC，
∴OA=OB=OC．
于是△BAC是直角三角形，∠BAC=90°，
所以AB⊥AC．

（2）解：連接OO₁、OO₂與AB、AC分別交于點E、F．
∵OA、OB是⊙O₁的切線．
∴OO₁⊥AB，
同理OO₂⊥AC．
根據（1）的結論AB⊥AC，可知四邊形OEAF是矩形，有∠EOF=90°．
連接O₁O₂，有OA⊥O₁O₂．在Rt△O₁OO₂中，有Rt△O₁AO∽Rt△OAO₂，
∴，
于是OA²=O₁A•O₂A=r₁•r₂=2r₂²，
∴OA=r²，
又∵∠ACB是⊙O₂的弦切角，
∴∠ACB=∠AO₂O．
在Rt△OAO₂中，tan∠AO₂O=，
∴=tan∠ACB=tan∠AO₂O=．
分析：（1）過點A作兩圓的內公切線交BC于點O，再利用切線的性質，證明OA=OB=OC即可；
（2）連續OO₁、OO₂與AB、AC分別交于點E、F，先利用切線的性質證明四邊形OEAF是矩形；
再利用三角形的形似、直角三角形的特點和三角函數求出的值．
點評：本題綜合考查了直線與圓、圓與圓的位置關系，全等三角形的判定、圖形的平移變換等多個知識點．