Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c的圖象交x軸于點A(x₀，0)和點B(2，0)，與y軸的正半軸交于點C，其對稱軸是直線x＝－1，tan∠BAC＝2，點A關于y軸的對稱點為點D．

(1)確定A.C.D三點的坐標；

(2)求過B.C.D三點的拋物線的解析式；

(3)若過點(0，3)且平行于x軸的直線與(2)小題中所求拋物線交于M.N兩點，以MN為一邊，拋物線上任意一點P(x，y)為頂點作平行四邊形，若平行四邊形的面積為S，寫出S關于P點縱坐標y的函數(shù)解析式．

(4)當＜x＜4時，(3)小題中平行四邊形的面積是否有最大值，若有，請求出，若無，請說明理由．

Answer 1

解：(1)∵點A與點B關于直線x＝－1對稱，點B的坐標是(2，0)

∴點A的坐標是(－4，0)               

由tan∠BAC＝2可得OC＝8

∴C(0，8)                            

∵點A關于y軸的對稱點為D

∴點D的坐標是(4，0)                  

(2)設過三點的拋物線解析式為y＝a(x－2)(x－4)

代入點C(0，8)，解得a＝1             

∴拋物線的解析式是y＝x²－6x＋8      

(3)∵拋物線y＝x²－6x＋8與過點(0，3)平行于x軸的直線相交于M點和N點

∴M(1，3)，N(5，3)，＝4              

而拋物線的頂點為(3，－1)

當y＞3時

S＝4(y－3)＝4y－12

當－1≤y＜3時

S＝4(3－y)＝－4y＋12                     

(4)以MN為一邊，P(x，y)為頂點，且當＜x＜4的平行四邊形面積最大，只要點P到MN的距離h最大

∴當x＝3，y＝－1時，h＝4

S＝•h＝4×4＝16

∴滿足條件的平行四邊形面積有最大值16