Question

已知拋物線y＝ax²＋bx＋c(a＞0)經過點B(12，0)和C(0，－6)，對稱軸為x＝2．

(1)求該拋物線的解析式．

(2)點D在線段AB上且AD＝AC，若動點P從A出發沿線段AB以每秒1個單位長度的速度勻速運動，同時另一個動點Q以某一速度從C出發沿線段CB勻速運動，問是否存在某一時刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時的時間t(秒)和點Q的運動速度；若存在，請說明理由．

(3)在(2)的結論下，直線x＝1上是否存在點M，使△MPQ為等腰三角形？若存在，請求出所有點M的坐

標；若存在，請說明理由．

Answer 1

解：∵拋物線 過C（6，0）

∴c=-6，即y=ax²+bx-6

由，解得：a=,b=-

∴拋物線解析式為y=x²－x－6

(2)存在，設直線DC垂直平分PQ

在Rt△AOC中，AC²8²＋6²=100, ∴AC＝10=AD

∴點D在對稱軸上,連接DQ, 則∠PDC＝∠QDC

∵∠PDC＝∠ ACD

∴∠QDC＝∠ ACD∴DQ∥AC,BD＝AB－AD＝10

DQ為△ABC的中位線，∴DQ＝½AC＝5

AP=AD-PD=AD-DQ=5

∴t＝5/1＝5秒

∴存在t＝5秒時，直線DC垂直平分PQ

在Rt△BOC中,BC ² =6 ²＋12 ²，BC=6,∴CQ=3

∴點Q的運動速度為3／5秒/單位長度

（3）存在，過點Q作QH⊥x軸于H,QH=3,PH=9

在Rt△PQH中,PQ=＝3

①當MP=MQ時，設直線CD的解析式為：y=kx+b。k≠0

解得：，∴y=3x-6

當x=1時，y=-3        ∴m₁(1,-3)

②當PQ為等腰三角形△MPQ的腰時，且p為頂點

設直線x=1上存在點M(1,y),有勾股定理得

4x²+y²=90,y=±

∴M₃(1, )M₂(1, -)

③當PQ為等腰三角形△MPQ的腰時，且Q為頂點

過點Q作QE⊥Y軸于E,交直線x=1于F,則F﹙1,-3﹚

設直線x=1上存在點M(1,y),有勾股定理得

(y+3)²+5²=90,y=-3±

∴M₄ (1, )M₅ (1, -)

綜上所述：存在這樣的點：m₁(1,-3) M₃(1, )M₂(1, -)，M₄ (1, )M₅ (1, -)