Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點P是弦BC上一動點（不與B，C重合），過點P作PE⊥AB，垂足為E，在射線EP上取點D使得DC=DP，連接DC.

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）若∠CBA=30°，射線EP交⊙O于點 F，當點 F恰好是弧BC的中點時，判斷以B，O，C，F為頂點的四邊形是什么特殊四邊形？說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形BOCF為菱形，理由見解析.

【解析】（1）證明：連接OC，

∵DP=DC，∴∠DPC=∠DCP，∵∠DPC=∠BPE，∴∠BPE=∠DCP，

∵PE⊥AB，∴∠BEP=90°，∴∠B+∠APE=90°，

∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，∴∠OCB+∠DCP=90°，

∴OC⊥CD， ∴直線CD與⊙O相切；

（2）解：以B、O、C、F為頂點的四邊形是菱形，

連接AC，∵∠CBA=30°，∴∠A=60°，

∴△OAC為等邊三角形，∴∠BOC=120°，

連接OF，BF，CF

∵F是弧BC的中點，∴∠BOF=∠COF=60°，

∴△BOF與△COF均為等邊三角形，

∴BF=BO=OC=CF，∴四邊形BOCF為菱形．