Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上的兩點，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點A順時針旋轉90°后，得到△AFB，連接EF，下列結論：①∠EAF＝45°；②△AED≌△AEF；③△ABE∽△ACD；④BE2+DC2＝DE2．

其中正確的是______．（填序號）

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

①根據旋轉得到，對應角∠CAD＝∠BAF，由∠EAF＝∠BAF+∠BAE＝∠CAD+∠BAE即可判斷

②由旋轉得出AD=AF, ∠DAE＝∠EAF，及公共邊即可證明

③在△ABE∽△ACD中，只有AB＝AC、∠ABE＝∠ACD＝45°兩個條件，無法證明

④先由△ACD≌△ABF，得出∠ACD＝∠ABF＝45°，進而得出∠EBF=90°，然后在Rt△BEF中，運用勾股定理得出BE2+BF2=EF2，等量代換后判定④正確

由旋轉，可知：∠CAD＝∠BAF．

∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，

∴∠CAD+∠BAE＝45°，

∴∠BAF+∠BAE＝∠EAF＝45°，結論①正確；

②由旋轉，可知：AD＝AF

在△AED和△AEF中，

∴△AED≌△AEF（SAS），結論②正確；

③在△ABE∽△ACD中，只有AB＝AC，、∠ABE＝∠ACD＝45°兩個條件，

無法證出△ABE∽△ACD，結論③錯誤；

④由旋轉，可知：CD＝BF，∠ACD＝∠ABF＝45°，

∴∠EBF＝∠ABE+∠ABF＝90°，

∴BF2+BE2＝EF2．

∵△AED≌△AEF，

EF＝DE，

又∵CD＝BF，

∴BE2+DC2＝DE2，結論④正確．

故答案為：①②④