Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點O，且AC=80，BD=60．動點M，N分別以每秒1個單位的速度從點A，D同時出發，分別沿A→O→D和D→A運動，當點N到達點A時，M，N同時停止運動．設運動時間為t秒．

（1）求菱形ABCD的周長．
（2）設△DMN的面積為S，求S關于t的解析式，并求S的最大值（提示：需分兩種情況討論）．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在菱形ABCD中，

∵四邊形ABCD是菱形，對角線AC與BD交于點O，且AC=80，BD=60，

∴OA=40，OD=30，

∵AC⊥BD，

∴AD= =50．

∴菱形ABCD的周長為200

（2）

解：過點M作MP⊥AD，垂足為點P．

①當0＜t≤40時，如圖1，

∵ ，

∴MP=AMsin∠OAD= ．

∴ ．

∵S隨t的增大而增大，

∴當t=40時，最大值為480；

②當40＜t≤50時，如圖2，

∴MD=80﹣t．

∵ ，

∴MP= ．

∴ = = = +490．

∵S隨t的增大而減小，

∴當t=40時，最大值為480．

綜上所述，S的最大值為480

【解析】（1）根據勾股定理及菱形的性質，求出菱形的周長；（2）在動點M、N運動過程中：①當0＜t≤40時，如答圖1所示，②當40＜t≤50時，如答圖2所示．分別求出S的關系式，然后利用二次函數的性質求出最大值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識點，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小才能正確解答此題．