Question

（2013年四川廣安9分）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作半圓⊙0，交BC于點D，連接AD，過點D作DE⊥AC，垂足為點E，交AB的延長線于點F．

（1）求證：EF是⊙0的切線．

（2）如果⊙O的半徑為5，sin∠ADE=，求BF的長．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）證明：如圖，連接OD，

∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB=90°。

∴AD⊥BC。

∵AB=AC，∴AD平分BC，即DB=DC。

∵OA=OB，∴OD為△ABC的中位線。

∴OD∥AC。

∵DE⊥AC，∴OD⊥DE。

∵OD是⊙O的半徑，∴EF是⊙O的切線。

（2）∵∠DAC=∠DAB，∴∠ADE=∠ABD。

∴在Rt△ADB中，。

∵AB=10，∴AD=8，

∵在Rt△ADE中，，∴。

∵OD∥AE，∴△FDO∽△FEA。

∴，即，解得。

【解析】（1）連接OD，AB為⊙0的直徑得∠ADB=90°，由AB=AC，根據等腰三角形性質得AD平分BC，即DB=DC，則OD為△ABC的中位線，所以OD∥AC，而DE⊥AC，則OD⊥DE，然后根據切線的判定方法即可得到結論。

（2）由∠DAC=∠DAB，根據等角的余角相等得∠ADE=∠ABD，在Rt△ADB中，利用解直角三角形的方法可計算出AD=8，在Rt△ADE中可計算出AE=，然后由OD∥AE，得△FDO∽△FEA，再利用相似比可計算出BF。　

考點：圓周角定理，等腰三角形的性質，三角形中位線的性質，平行的性質，切線的判定，銳角三角函數定義，相似三角形的判定和性質。