Question

【題目】如圖，二次函數(shù)y=mx2+（m2﹣m）x﹣2m+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為1．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及A、B的坐標(biāo)；
（2）若P（0，t）（t＜﹣1）是y軸上一點(diǎn)，Q（﹣5，0），將點(diǎn)Q繞著點(diǎn)P順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)E恰好在該二次函數(shù)的圖象上時，求t的值；
（3）在（2）的條件下，連接AD、AE．若M是該二次函數(shù)圖象上一點(diǎn)，且∠DAE=∠MCB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為1，

∴ ，

解得，m1=﹣1，m2=0（舍去）

∴二次函數(shù)的表達(dá)式為y=﹣x2+2x+3，

當(dāng)y=0時，﹣x2+2x+3=0，

解得，x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0），B（3，0），

（2）

解：如圖1，過點(diǎn)E作EH⊥y軸于點(diǎn)H，

∵∠PQO+∠OPQ=90°，∠OPQ+∠HPE=90°，

∴∠HPE=∠PQO，

由旋轉(zhuǎn)知，PQ=PE，

在△EPH和△PQO中， ，

∴△EPH≌△PQO，

∴EH=OP=﹣t，HP=OQ=5

∴E（﹣t，5+t）

當(dāng)點(diǎn)E恰好在該二次函數(shù)的圖象上時，有5+t=﹣t2﹣2t+3

解得t1=﹣2，t2=﹣1（由于t＜﹣1所以舍去），

（3）

解：設(shè)點(diǎn)M（a，﹣a2+2a+3）

①若點(diǎn)M在x軸上方，

如圖2，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，

過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F．

∵∠EAB=∠OCB=45°，∠DAE=∠MCB

∴∠MCN=∠DAF

∴△MCN∽△DAF，

∴ ，即

∴ ，a2=0（舍去）

∴ ，

②若點(diǎn)M在x軸下方，

如圖3，過點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，

過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F．

∵∠EAB=∠OCB=45°，∠DAE=∠MCB

∴∠MCN=∠ADF

∴△MCN∽△ADF

∴ ，即

∴a1=4，a2=0（舍去）

∴M（4，﹣5）

綜上所述， 或M（4，﹣5）．

【解析】（1）利用拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)的橫坐標(biāo)為1建立方程即可求出M，進(jìn)而得出拋物線解析式，再令y=0解一元二次方程即可得出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)；（2）先構(gòu)造出全等三角形△EPH≌△PQO，進(jìn)而得出EH=OP=﹣t，HP=OQ=5，即可得出點(diǎn)E的坐標(biāo)，代入拋物線解析式中即可求出t；（3）分兩種情況討論計(jì)算，①點(diǎn)M在x軸上方時，構(gòu)造相似三角形△MCN∽△DAF得出比例式建立方程即可求出點(diǎn)M的坐標(biāo)，②點(diǎn)M在x軸下方時，同①的方法即可得出點(diǎn)M的坐標(biāo)．