Question

【題目】如圖，在△ABC中，BD、BE分別是△ABC的高線和角平分線，點F在CA的延長線上，FH⊥BE交BD于點G，交BC于點H．下列結論：①∠DBE=∠F；②∠BEF=（∠BAF+∠C）； ③∠FGD=∠ABE+∠C；④∠F=（∠BAC﹣∠C）；其中正確的是_____．

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

①根據BD⊥FD，FH⊥BE和∠FGD=∠BGH，證明結論正確；

②根據角平分線的定義和三角形外角的性質證明結論正確；

③根據垂直的定義和同角的余角相等的性質證明結論正確；

④證明∠DBE=∠BAC-∠C，根據①的結論，證明結論正確.

解：①∵BD⊥FD，

∴∠FGD+∠F=90°，

∵FH⊥BE，

∴∠BGH+∠DBE=90°，

∵∠FGD=∠BGH，

∴∠DBE=∠F，

故①正確；

②∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∠BEF=∠CBE+∠C，

∴2∠BEF=∠ABC+2∠C，

∠BAF=∠ABC+∠C，

∴2∠BEF=∠BAF+∠C，

∴∠BEF=(∠BAF+∠C)，

故②正確；

③∵∠AEB=∠EBC+∠C，

∵∠ABE=∠EBC，

∴∠AEB=∠ABE+∠C，

∵BD⊥FC，FH⊥BE，

∴∠FGD=90-∠DFH，∠AEB=90-∠DFH，

∴∠FGD=∠AEB

∴∠FGD=∠ABE+∠C.

故③正確；

④∠ABD=90°-∠BAC，

∠DBE=∠ABE-∠ABD=∠ABE-90°+∠BAC=∠CBD-∠DBE-90°+∠BAC，

∵∠CBD=90°-∠C，

∴∠DBE=∠BAC-∠C-∠DBE，

由①得，∠DBE=∠F，

∴∠F=∠BAC-∠C-∠DBE，

∴∠F=(∠BAC-∠C)；

故④正確，

故答案為：①②③④.