Question

如圖所示，已知：在⊙O中，BC=4

3

，CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，∠C=30°．
（1）求圖中扇形OAB的面積；
（2）若用扇形OAB圍成一個圓錐側面，求這個圓錐的底面圓的半徑．

Answer 1

分析：（1）過點O作OF⊥BC于F，求得BC的長后再求得BF的長，由勾股定理求得OB的長后即可求面積；
（2）利用扇形的面積公式計算其底面半徑即可．

解答：解：（1）在⊙O中，∵∠C=30°，
∴∠BOD=2∠C=60°，
∵直徑CD⊥弦AB，
∴

AD

=

BD

，
∴∠AOB=2∠BOD=2×60°=120°，（2分）
過點O作OF⊥BC于F．
∵BC=4

3

，
∴BF=

1

2

BC=

1

2

×4

3

=2

3

，
設FO的長為x，則OB=2x，
在Rt△BOF中，由勾股定理得：
4x²-x²=（2

3

）²，
解得x=2，
∴OB=2x=4，（4分）
∴S_扇形OAB=（120π×4^2_）÷360=

16

3

π，
或S_扇形OAB=（240π×4²）÷360=

32

3

π；（5分）

（2）設圓錐的底面半徑為r，
則4πr=

16

3

π或4πr=

32

3

π，
r=

4

3

或r=

8

3

，（9分）
答：（1）圖中扇形OAB的面積為

16

3

π或

32

3

π；
（2）所求圓錐的底面半徑為r=

4

3

或r=

8

3

．（10分）

點評：本題考查了圓錐的計算，解題的關鍵是正確的理解圓錐的側面展開扇形及弧長之間的關系．