Question

1、如圖所示．已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分線交BC于E，作EF⊥AC于F，作FG⊥AB于G．求證：AB²=2FG²．

Answer 1

分析：注意到正方形的特性∠CAB=45°，所以△AGF是等腰直角三角形，從而有AF²=2FG²，因而應有AF=AB，進而證明△ABE≌△AFE，即可得AF=AB，根據AF²=AG²+FG²=2FG²即可解題．

解答：證明：因為AE是∠FAB的平分線，EF⊥AF，又AE是△AFE與△ABE的公共邊，
所以Rt△AFE≌Rt△ABE（AAS），
所以AF=AB．①
在Rt△AGF中，因為∠FAG=45°，
所以AG=FG，
AF²=AG²+FG²=2FG²．②
由①，②得AB²=2FG²．

點評：本題考查了正方形各邊長相等、各內角相等的性質，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證Rt△AFE≌Rt△ABE是解題的關鍵．