Question

【題目】在平面直角坐標系中，點A的坐標為（﹣6，6），以A為頂點的∠BAC的兩邊始終與x軸交于B、C兩點（B在C左面），且∠BAC＝45°．

（1）如圖，連接OA，當AB＝AC時，試說明：OA＝OB．

（2）過點A作AD⊥x軸，垂足為D，當DC＝2時，將∠BAC沿AC所在直線翻折，翻折后邊AB交y軸于點M，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2) M的坐標為（0，3）或（0，-6）

【解析】

（1）利用等腰三角形的性質求得∠BAO和∠ABC的度數，然后利用等角對等邊即可證得；
（2）當點C在點D右側時，連接CM，過點A作AE⊥y軸于點E，證明△BAD≌△MAE，在Rt△COM中，由勾股定理即可求得M的坐標；當點C在點D左側時，連接CM，過點A作AF⊥y軸于點F，證明△BAD≌△MAF，同理，在Rt△COM中，由勾股定理即可求得M的坐標．

（1）∵AB=AC，∠BAC=45°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°．
過點A作AE⊥OB于E，
∵A（-6，6），
∴△AEO是等腰直角三角形，∠EAO=45°．
∵AB=AC，AE⊥OB，
∴∠BAE= ∠BAC=22.5°．
∴∠BAO=67.5°=∠ABC，
∴OA=OB．
（2）設OM=x，
當點C在點D右側時，如圖2，連接CM，過點A作AE⊥y軸于點E，
由∠BAM=∠DAE=90°，
可知：∠BAD=∠MAE；
∴在△BAD和△MAE中，
，
∴△BAD≌△MAE．
∴BD=EM=6-x．
又∵AC=AC，∠BAC=∠MAC，
∴△BAC≌△MAC．
∴BC=CM=8-x．
在Rt△COM中，由勾股定理得：
OC2+OM2=CM2，即42+x2=（8-x）2，
解得：x=3，
∴M點坐標為（0，3）．
當點C在點D左側時，如圖3，連接CM，過點A作AF⊥y軸于點F，
同理，△BAD≌△MAF，
∴BD=FM=6+x．
同理，
△BAC≌△MAC，
∴BC=CM=4+x．
在Rt△COM中，由勾股定理得：
OC2+OM2=CM2，即82+x2=（4+x）2，
解得：x=6，
∴M點坐標為（0，-6）．
綜上，M的坐標為（0，3）或（0，-6）．