Question

【題目】如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB為直徑的⊙O交AC于點D，E為BC邊的中點，連接DE．
（1）求證：DE與⊙O相切．
（2）若tanC= ，DE=2，求AD的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接DO，DB，

∴OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD．

∵AB是直徑，

∴∠ADB=90°，

∴∠CDB=90°．

∵E為BC的中點，

∴DE=BE，

∴∠EDB=∠EBD，

∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，

即∠EDO=∠EBO．

∵∠ABC=90°，

∴∠EDO=90°．

∴OD⊥ED于點D．

又∵OD是半徑，

∴DE為⊙O的切線

（2）解：∵∠BDC=90°，點E為BC的中點，

∴DE= BC．

∵DE=2，

∴BC=4．

在直角△ABC中，tanC= ，

∴AB=BC× =2 ．

在直角△ABC中，由勾股定理得到AC=6．

又∵△ABD∽△ACB，

∴ = ，即 = ，

∴AD= ．

【解析】（1）如圖，連接DO、DB．欲證明DE與⊙O相切，只需證得OD⊥DE即可；（2）由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”易求DE= BC=2，則BC=4；然后通過解直角△ABC求得AB=2 、由勾股定理求得AC=6；最后通過△ABD∽△ACB的對應邊成比例求得AD= ．
【考點精析】關于本題考查的切線的判定定理和相似三角形的判定與性質，需要了解切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能得出正確答案．