Question

【題目】如圖，已知長方形ABCD中，AD＝6cm，AB＝4cm，點E為AD的中點．若點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BC上由點B向點C運動．

(1)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，經過1秒后，△AEP與△BPQ是否全等，請說明理由，并直接寫出此時線段PE和線段PQ的位置關系；

(2)若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，運動時間為t秒，設△PEQ的面積為Scm2，請用t的代數式表示S；

(3)若點Q的運動速度與點P的運動速度不相等，當點Q的運動速度為多少時，能夠使△AEP與△BPQ全等？

Answer 1

【答案】（1）全等。理由見解析；（2）S=；（3）點Q運動的速度為=3÷2=1.5cm/秒時，△AEP≌△BQP..

【解析】

（1）本題很容易證明△AEP≌△BPQ，這樣可得出∠AEP=∠BPQ，因為∠AEP+∠APE=90°，可得出∠BPQ+∠APE=90°，這即可判斷出結論．
（2）可分別用t表示出AP、BQ、BP的長度，然后用梯形的面積減去△APE、△BPQ的面積即可得出△PEQ的面積為Scm2．
（3）設Q運動的速度為xcm/s，則根據△AEP與△BQP得出AP=BP、AE=BQ，解出即可得出答案．

（1）全等,

理由：當t=1時，AP=1，BQ=1，∴AP=BQ．

∵E是AD的中點，∴

∵PB=AB=AP=4﹣1=3，∴AE=PB．

在Rt△EAP和Rt△PBQ中，

∴△EAP≌Rt△PBQ（SAS）．

此時.

（2）如圖1所示連接QE．

圖1

當t≤4時，AP=BQ=t，

S梯形AEQB

∴

如圖2所示：

當4＜t≤6時，點P與點B重合，

∴S與t的函數關系式為S=；

（t的取值范圍不做要求）

（3）如圖3所示：

∵△AEP≌△BQP，PA≠BQ，

∴AP=PB=2，AE=BQ=3．

∴

∴點Q運動的速度為=3÷2=1.5cm/秒時，△AEP≌△BQP..