Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，點A(－1，0)，B(0，2)，點C在x軸上，且∠ABC＝90°.

(1)求點C的坐標；

(2)求經過A，B，C三點的拋物線的表達式；

(3)在(2)中的拋物線上是否存在點P，使∠PAC＝∠BCO？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（4，0）（2）y=；（3）（3，2），（5，-3）

【解析】試題分析：（1）設點C 的坐標為（x，0），在直角三角形ABC中運用勾股定理即可求出x的值，從而確定點C的坐標；

（2）設出二次函數關系式，把A、B、C三點坐標代入求解即可；

（3） 存在，利用正切值相等，分兩種情況列式計算即可.

試題解析：（1）設C（x，0）（x>0）

∴AC=x+1，BC=，AB=

∵∠ABC＝90°

∴AB2+BC2=AC2

∴5+x2+4=(x+1)2

解得：x=4

∴C（4,0）

(2)∵A(－1，0)，B(0，2)，C(4,0)

設拋物線的解析式為：y=a(x+1)(x-4)

把點B（0，2）代入上式得：a=

∴拋物線的解析式為：y= (x+1)(x-4)= x2+x+2;

(3)∵∠PAC=∠BCO

∴tan∠PAC=tan∠BCO

∴tan∠PAC=tan∠BCO=

設P點坐標為（x，y）

當點P在x軸上方時，y>0

∴tan∠PAC=

聯立

∴x2-2x-3=0

∵y>0

∴x=3

∴點P坐標為（3，2）

當點P在x軸下方時，y<0，x>0

∴tan∠PAC=

聯立

∴x2-4x-5=0

∵y<0

∴x=-5

∴點P坐標為（-5，3）

綜上可得：點P的坐標為（3，2）或（-5，3）.