Question

【題目】如圖，在直角坐標系中有一直角三角形AOB，O為坐標原點，OA=1．tan∠BAO=3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉90°，得到△DOC，拋物線y=ax2+bx+c經過點A、B、C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P是第二象限內拋物線上的動點，其橫坐標為t，

①設拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接PE，交CD于F，求出當△CEF與△COD相似時，點P的坐標；

②是否存在一點P，使△PCD得面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2-2x+3，（2）①P點坐標為（-1，4）或（-2，3）；②存在點P使△PCD的面積最大，△PCD的面積有最大值為．

【解析】

試題分析：（1）由三角函數的定義可求得OB，再結合旋轉可得到A、B、C的坐標，利用待定系數法可求得拋物線解析式；

（2）①△COD為直角三角形，可知當△CEF與△COD相似時有兩種情況，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，當PE⊥CE時，則可得拋物線的頂點滿足條件，當PE⊥CD時，過P作PG⊥x軸于點G，可證△PGE∽△COD，利用相似三角形的性質可得到關于t的方程，可求得P點坐標；②可求得直線CD的解析式，過P作PN⊥x軸于點N，交CD于點M，可用t表示出PM的長，當PM取最大值時，則△PCD的面積最大，可求得其最大值．

試題解析：（1）∵OA=1．tan∠BAO=3，

∴=3，解得OB=3，

又由旋轉可得OB=OC=3，

∴A（1，0），B（0，3），C（-3，0），

設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把A、B、C三點的坐標代入可得

，解得，

∴拋物線解析式為y=-x2-2x+3，

（2）①由（1）可知拋物線對稱軸為x=-1，頂點坐標為（-1，4），

∵△COD為直角三角形，

∴當△CEF與△COD相似時有兩種情況，即∠FEC=90°或∠EFC=90°，

若∠FEC=90°，則PE⊥CE，

∵對稱軸與x軸垂直，

∴此時拋物線的頂點即為滿足條件的P點，此時P點坐標為（-1，4）；

若∠EFC=90°，則PE⊥CD，

如圖，過P作PG⊥x軸于點G，

則∠GPE+∠PEG=∠DCO+∠PEG，

∴∠GPE=∠OCD，且∠PGE=∠COD=90°，

∴△PGE∽△COD，

∴，

∵E（-1，0），G（t，0），且P點橫坐標為t，

∴GE=-1-t，PG=-t2-2t+3，

∴，解得t=-2或t=3，

∵P點在第二象限，

∴t＜0，即t=-2，

此時P點坐標為（-2，3），

綜上可知滿足條件的P點坐標為（-1，4）或（-2，3）；

②設直線CD解析式為y=kx+m，

把C、D兩點坐標代入可得，解得，

∴直線CD解析式為y=x+1，

如圖2，過P作PN⊥x軸，交x軸于點N，交直線CD于點M，

∵P點橫坐標為t，

∴PN=-t2-2t+3，MN=t+1，

∵P點在第二象限，

∴P點在M點上方，

∴PM=PN-MN=-t2-2t+3-（t+1）=-t2-t+2=-（t+）2+，

∴當t=-時，PM有最大值，最大值為，

∵S△PCD=S△PCM+S△PDM=PMCN+PMNO=PMOC=PM，

∴當PM有最大值時，△PCD的面積有最大值，

∴（S△PCD）max=×=，

綜上可知存在點P使△PCD的面積最大，△PCD的面積有最大值為．