Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)分別為A（﹣6，0）和點(diǎn)B（4，0），與y軸的交點(diǎn)為C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)P是線段OA上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），過(guò)P作平行于y軸的直線與AC交于點(diǎn)Q，點(diǎn)D、M在線段AB上，點(diǎn)N在線段AC上．

①是否同時(shí)存在點(diǎn)D和點(diǎn)P，使得△APQ和△CDO全等，若存在，求點(diǎn)D的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

②若∠DCB=∠CDB，CD是MN的垂直平分線，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+3；（2）①點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣，0）；②點(diǎn)M（，0）.

【解析】

（1）應(yīng)用待定系數(shù)法問(wèn)題可解；

（2）①通過(guò)分類(lèi)討論研究△APQ和△CDO全等

②由已知求點(diǎn)D坐標(biāo)，證明DN∥BC，從而得到DN為中線，問(wèn)題可解．

（1）將點(diǎn)（-6，0），C（0，3），B（4，0）代入y=ax2+bx+c，得

，

解得： ，

∴拋物線解析式為：y=-x2-x+3；

（2）①存在點(diǎn)D，使得△APQ和△CDO全等，

當(dāng)D在線段OA上，∠QAP=∠DCO，AP=OC=3時(shí)，△APQ和△CDO全等，

∴tan∠QAP=tan∠DCO，

，

∴，

∴OD=，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（-，0）.

由對(duì)稱性，當(dāng)點(diǎn)D坐標(biāo)為（，0）時(shí)，

由點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），

此時(shí)點(diǎn)D（，0）在線段OB上滿足條件．

②∵OC=3，OB=4，

∴BC=5，

∵∠DCB=∠CDB，

∴BD=BC=5，

∴OD=BD-OB=1，

則點(diǎn)D坐標(biāo)為（-1，0）且AD=BD=5，

連DN，CM，

則DN=DM，∠NDC=∠MDC，

∴∠NDC=∠DCB，

∴DN∥BC，

∴，

則點(diǎn)N為AC中點(diǎn)．

∴DN時(shí)△ABC的中位線，

∵DN=DM=BC=，

∴OM=DM-OD=

∴點(diǎn)M（，0）