Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為2，E、F分別為BC，CD的中點，連接AE，BF交于點G，將△BCF沿BF對折，得到△BPF，延長FP交AD于點M，交BA的延長線于點Q．連接BM，下列結論中：①AE＝BF； ②AE⊥BF；③AQ＝；④∠MBF＝60°．

正確的結論是_____（填正確結論的序號）．

Answer 1

【答案】①②③

【解析】

由題意可證△BFC≌△ABE，可判斷①②，由折疊可判斷④，根據勾股定理可求AM=，DM=，根據平行線分線段成比例可求AQ=，可判斷③

∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=AD=CD=2，∠C=∠D=∠ABC=90°，
∵CF=BE，AB=BC，∠C=∠ABC，
∴△AEB≌△BCF,
∴AE=BF，∠EAB=∠FBC,
∵∠FBC+∠ABF=90°,
∴∠EAB+∠ABF=90°,
∴∠AGB=90°即AE⊥BF,
故①②正確,
∵折疊,
∴BC=BP，∠CBF=∠PBF,
∴AB=BP且BM=BM,
∴Rt△ABM≌Rt△BMP,
∴AM=MP，∠ABM=∠PBM,
∵∠ABM+∠PBM+∠CBF+∠PBF=90°,
∴∠MBF=45°,
故④錯誤,
∵在Rt△DMF中，MF2=FD2+DM2．
∴（1+AM）2=（2-AM）2+1,
∴AM=，
∴DM=,
∵CD∥BA,
∴,
∴AQ=
故③正確
故答案是：①②③