Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C為⊙O上一點，經過點C的直線與AB的延長線交于點D，連接AC，BC，∠BCD＝∠CAB．E是⊙O上一點，弧CB＝弧CE，連接AE并延長與DC的延長線交于點F．

（1）求證：DC是⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，sin∠D＝，求線段AF的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）.

【解析】

（1）連接OC，BC，由AB是⊙O的直徑，得到∠ACB=90°，即∠1+∠3=90°．根據等腰三角形的性質得到∠1=∠2．得到∠DCB+∠3=90°．于是得到結論；
（2）根據三角函數的定義得到OD=5，AD=8．根據弧CB＝弧CE得到∠2=∠4．推出OC∥AF．根據相似三角形的性質即可得到結論．

（1）證明：連接OC，BC，

∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，即∠1+∠3＝90°．

∵OA＝OC，

∴∠1＝∠2．

∵∠DCB＝∠BAC＝∠1．

∴∠DCB+∠3＝90°．

∴OC⊥DF．

∴DF是⊙O的切線；

（2）解：在Rt△OCD中，OC＝3，sinD＝．

∴OD＝5，AD＝8．

∵弧CB＝弧CE，

∴∠2＝∠4．

∴∠1＝∠4．

∴OC∥AF．

∴△DOC∽△DAF．

∴=．

∴AF＝．