Question

據我國古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得一個直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括為“勾三，股四，弦五”．
（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過．計算

1

2

（9-1）、

1

2

（9+1）與

1

2

（25-1）、

1

2

（25+1），并根據你發現的規律，分別寫出能表示7，24，25的股和弦的算式；
（2）根據（1）的規律，用n（n為奇數且n≥3）的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合情猜想他們之間二種相等關系并對其中一種猜想加以證明；
（3）繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過．運用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數且m＞4）的代數式來表示他們的股和弦．

Answer 1

分析：（1）根據所提供的例子發現股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
（2）股是勾的平方減去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一．

解答：解：（1）∵

1

2

（9-1）=4，

1

2

（9+1）=5；

1

2

（25-1）=12，

1

2

（25+1）=13；
∴7，24，25的股的算式為

1

2

（49-1）=

1

2

（7²-1）
弦的算式為

1

2

（49+1）=

1

2

（7²+1）；（4分）

（2）當n為奇數且n≥3，勾、股、弦的代數式分別為：n，

1

2

（n²-1），

1

2

（n²+1）．（7分）
例如關系式①：弦-股=1；關系式②：勾²+股²=弦²（9分）
證明關系式①：弦-股=

1

2

（n²+1）-

1

2

（n²-1）=

1

2

[（n²+1）-（n²-1）]=1
或證明關系式②：勾²+股²=n²+[

1

2

（n²-1）]²=

1

4

n⁴+

1

2

n²+

1

4

=

1

4

（n²+1）²=弦²∴猜想得證；（12分）

（3）例如探索得，當m為偶數且m＞4時，股、弦的代數式分別為：(

m

2

)2-1，(

m

2

)2+1．（14分）
另加分問題，
例如：連接兩組勾股數中，上一組的勾、股與下一組的勾的和等于下一組的股．
即上一組為：n，

1

2

（n²-1），

1

2

（n²+1）（n為奇數且n≥3），
分別記為：A₁、B₁、C₁，
下一組為：n+2，

1

2

[（n+2）²-1]，

1

2

[（n+2）²+1]（n為奇數且n≥3），
分別記為：A₂、B₂、C₂，
則：A₁+B₁+A₂=n+

1

2

（n²-1）+（n+2）=

1

2

（n²+4n+3）=

1

2

[（n+2）²-1]=B₂．
或B₁+C₂=B₂+C₁（證略）等等．

點評：注意由具體例子觀察發現規律，證明的時候熟練運用完全平方公式．