Question

（2004•三明）據我國古代《周髀算經》記載，公元前1120年商高對周公說，將一根直尺折成一個直角，兩端連接得一個直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括為“勾三，股四，弦五”．
（1）觀察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，發現這些勾股數的勾都是奇數，且從3起就沒有間斷過．計算（9-1）、（9+1）與（25-1）、（25+1），并根據你發現的規律，分別寫出能表示7，24，25的股和弦的算式；
（2）根據（1）的規律，用n（n為奇數且n≥3）的代數式來表示所有這些勾股數的勾、股、弦，合情猜想他們之間二種相等關系并對其中一種猜想加以證明；
（3）繼續觀察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以發現各組的第一個數都是偶數，且從4起也沒有間斷過．運用類似上述探索的方法，直接用m（m為偶數且m＞4）的代數式來表示他們的股和弦．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據所提供的例子發現股是勾的平方減去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；
（2）股是勾的平方減去4的四分之一，弦是勾的平方加4的四分之一．
解答：解：（1）∵（9-1）=4，（9+1）=5；（25-1）=12，（25+1）=13；
∴7，24，25的股的算式為（49-1）=（7²-1）
弦的算式為（49+1）=（7²+1）；（4分）

（2）當n為奇數且n≥3，勾、股、弦的代數式分別為：n，（n²-1），（n²+1）．（7分）
例如關系式①：弦-股=1；關系式②：勾²+股²=弦²（9分）
證明關系式①：弦-股=（n²+1）-（n²-1）=[（n²+1）-（n²-1）]=1
或證明關系式②：勾²+股²=n²+[（n²-1）]²=n⁴+n²+=（n²+1）²=弦²∴猜想得證；（12分）

（3）例如探索得，當m為偶數且m＞4時，股、弦的代數式分別為：，．（14分）
另加分問題，
例如：連接兩組勾股數中，上一組的勾、股與下一組的勾的和等于下一組的股．
即上一組為：n，（n²-1），（n²+1）（n為奇數且n≥3），
分別記為：A₁、B₁、C₁，
下一組為：n+2，[（n+2）²-1]，[（n+2）²+1]（n為奇數且n≥3），
分別記為：A₂、B₂、C₂，
則：A₁+B₁+A₂=n+（n²-1）+（n+2）=（n²+4n+3）=[（n+2）²-1]=B₂．
或B₁+C₂=B₂+C₁（證略）等等．
點評：注意由具體例子觀察發現規律，證明的時候熟練運用完全平方公式．