Question

【題目】如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，AC＝20 cm，BD＝12 cm，兩動點E，F同時以2 cm/s的速度分別從點A，C出發在線段AC上相對運動，點E到點C，點F到點A時停止運動．

(1)求證：當點E，F在運動過程中不與點O重合時，以點B，E，D，F為頂點的四邊形為平行四邊形；

(2)當點E，F的運動時間t為何值時，四邊形BEDF為矩形？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）當點E，F的運動時間t為2 s或8 s時，四邊形BEDF為矩形

【解析】

（1）如下圖，連接DE，EB，BF，FD，由已知條件易得AE=CF，BO=DO，AO=CO，由此可得OE=OF，從而可得四邊形BEDF是平行四邊形；

（2）由（1）可知，四邊形BEDF是平行四邊形，故當EF=BD=12cm時，四邊形BEDF是矩形，由此分以下兩種情況進行解答即可求得對應的t的值，①點E在OA上，點F在OC上時，EF=BD=12cm；②點E在OC上，點F在OA上是，EF=BD=12cm.

(1)連接DE，EB，BF，FD.

∵兩動點E，F同時以2 cm/s的速度分別從點A，C出發在線段AC上相對運動，

∴AE＝CF.

∵平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，

∴OD＝OB，OA＝OC(平行四邊形的對角線互相平分)，

∴OA－AE＝OC－CF或AE－OA＝CF－OC，即OE＝OF，

∴四邊形BEDF為平行四邊形(對角線互相平分的四邊形是平行四邊形)，

即以點B，E，D，F為頂點的四邊形是平行四邊形．

(2)由已知條件可得：AE＝CF＝2t，

∵由（1）可知四邊形BEDF是平行四邊形，

∴當EF=BD=12時，四邊形BEDF是矩形.

①當點E在OA上，點F在OC上時，EF=AC-4t，

∵EF=BD=12，

∴20－4t＝12，解得：t＝2；

②當點E在OC上，點F在OA上時，EF=4t-AC=4t-20，

∵EF=BD=12，

∴4t－20＝12，解得：t＝8.

綜上所述：當點E，F的運動時間t為2 s或8 s時，四邊形BEDF為矩形．