Question

【題目】是一張等腰直角三角形紙板， ， ．

（）要在這張紙板中剪出一個盡可能大的正方形，有甲、乙兩種剪法（如圖），比較甲、乙兩種剪法，哪種剪法所得的正方形面積大？請說明理由．

（）圖中甲種剪法稱為第次剪取，記所得正方形面積為；按照甲種剪法，在余下的和中，分別剪取正方形，得到兩個相同的正方形，稱為第次剪取，并記這兩個正方形面積和為（如圖），則__________；再在余下的四個三角形中，用同樣方法分別剪取正方形，得到四個相同的正方形，稱為第次剪取，并記這四個正方形面積和為，繼續操作下去，則第次剪取時， __________．

（）求第次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和__________．

Answer 1

【答案】（）甲種剪法所得的正方形面積更大，理由見解析；（）， ；（）．

【解析】試題分析：（1）分別求出甲、乙兩種剪法所得的正方形面積，進行比較即可；

（2）按圖1中甲種剪法，可知后一個三角形的面積是前一個三角形的面積的，依此可知結果；

（3）探索規律可知： ，依此規律可得第10次剪取后，余下的所有小三角形的面積之和．

試題解析：（）如圖甲，由題意得，即，

如圖乙，設，則由題意得，

則， ，

又∵，即，

∴甲種剪法所得的正方形面積更大．

（）， ，

（）由題意可知，

第一次剪取后剩余三角形面積和為，

第二次剪取后剩余三角形面積和為，

第三次剪取后剩余三角形面積和為，

，

第十次剪取后剩余三角形面積和為．