Question

【題目】唐朝詩人李欣的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望峰火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數學問題我們稱之為“飲馬問題”．如圖1所示，詩中將軍在觀望烽火之后從山腳下的A點出發，走到河旁邊的C點飲馬后再到B點宿營．請問怎樣走才能使總的路程最短？某課題組在探究這一問題時抽象出數學模型：

直線l同旁有兩個定點A、B，在直線l上存在點P，使得PA+PB的值最小．

解法：作點A關于直線l的對稱點A′，連接A′B，則A′B與直線l的交點即為P，且PA+PB的最小值為線段A′B的長．

（1）根據上面的描述，在備用圖中畫出解決“飲馬問題”的圖形；

（2）利用軸對稱作圖解決“飲馬問題”的依據是　 　．

（3）應用：①如圖2，已知∠AOB=30°，其內部有一點P，OP=12，在∠AOB的兩邊分別有C、D兩點（不同于點O），使△PCD的周長最小，請畫出草圖，并求出△PCD周長的最小值；

②如圖3，點A（4，2），點B（1，6）在第一象限，在x軸、y軸上是否存在點D、點C，使得四邊形ABCD的周長最小？若存在，請畫出草圖，并求其最小周長；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）兩點之間線段最短；（3）△PCD的周長=12；四邊形ABCD的周長的最小值為+5．

【解析】

(1) 詳見圖

(2) 依據是兩點之間線段最短;

(3) ①分別作P關于OA、OB的對稱點M、N，連接MN，交OA、OB于C、D，則△PCD的周長最小，可得△MON為等邊三角形，可得△PCD的周長；

②點A關于x軸的對稱點F的坐標為（4，﹣2），點B關于y軸的對稱點E的坐標為（﹣1，6），連接EF交x軸、y軸于點D、點C，則四邊形ABCD的周長最小，根據軸對稱的性質可知，BC=BE，DA=DF，可得四邊形ABCD的周長的最小值.

解：（1）如圖所示：

（2）

利用軸對稱作圖解決“飲馬問題”的依據是兩點之間線段最短，

故答案為：兩點之間線段最短；

（3）

①分別作P關于OA、OB的對稱點M、N，

連接MN，交OA、OB于C、D，則△PCD的周長最小，

連接OM、ON，

由軸對稱的性質可知，OM=OP=12，ON=OP=12，CP=CM，DP=DN，

∠MON=2∠AOB=60°，

∴△MON為等邊三角形，

∴MN=12，

∴△PCD的周長=PC+CD+DC=CM+CD+DN=MN=12；

②

點A關于x軸的對稱點F的坐標為（4，﹣2），點B關于y軸的對稱點E的坐標為（﹣1，6），

連接EF交x軸、y軸于點D、點C，

則四邊形ABCD的周長最小，

根據軸對稱的性質可知，BC=BE，DA=DF，

∴BC+CD=AD=EC+CD+DF=EF==，

AB==5，

∴四邊形ABCD的周長的最小值為+5．