Question

【題目】在平行四邊形ABCD中，E為邊上一點，連結AE并延長交直線DC于F，且CE=CF.

（1）如圖1，求證：AF是∠BAD的平分線；

（2）如圖2，若∠ABC=90°，點G是線段EF上一點，連接DG、BD、CG，若∠BDG=45°，求證：CG=EF.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

（1）根據四邊形ABCD是平行四邊形得出，AB∥DF，BC∥AD，得出∠2=∠F，∠1=∠3，進而求出∠1=∠2即可；
（2）根據∠ABC=90°，G是EF的中點可直接求得．

證明：（1）在平行四邊形ABCD中，∠AEB=∠EAD

∵CE=CF,

∴∠CEF=∠CFE

∴∠AEB=∠CFE

∴∠BAF=∠DAF

∴AF是∠BAD的平分線

（2）連接BG，

∵在平行四邊形ABCD中，∠ABC=90°，

∴四邊形ABCD是矩形，

∵CE=CF，∠BCD=∠ECF=90°，

∴△CEF為直角三角形，

∴∠CEF=45°

∴∠BAE=45°，

∴∠EAB=45°，

∵∠BDG=45°，

∴ABGD四點共圓 （同弦BG）

又四邊形ABCD是矩形

∴ABCD四點共圓

即ABGCD五點共圓

∴∠ECG=45°，

∵△CEF為直角三角形，∠ECG=45°，

∴CG是RT△CEF斜邊EF上的中線，

∴CG=EF.