Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，O為原點，點A（0，8），點B（m，0），且m＞0.把△AOB繞點A逆時針旋轉90°，得△ACD，點O，B旋轉后的對應點為C，D，

（1）點C的坐標為 ；

（2）①設△BCD的面積為S，用含m的式子表示S，并寫出m的取值范圍；

②當S=6時，求點B的坐標（直接寫出結果即可）.

Answer 1

【答案】（1）C（8，8）；（2）①S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；②點B的坐標為（4+2，0）或（2，0）或（6，0）.

【解析】

（1）由旋轉的性質得出AC＝AO＝8，∠OAC＝90°，得出C（8，8）即可；

（2）①由旋轉的性質得出DC＝OB＝m，∠ACD＝∠AOB＝90°，∠OAC＝90°，得出∠ACE＝90°，證出四邊形OACE是矩形，得出DE⊥x軸，OE＝AC＝8，分三種情況：

a、當點B在線段OE的延長線上時，得出BE＝OBOE＝m8，由三角形的面積公式得出S＝0.5m24m（m＞8）即可；

b、當點B在線段OE上（點B不與O，E重合）時，BE＝OEOB＝8m，由三角形的面積公式得出S＝0.5m2＋4m（0＜m＜8）即可；

c、當點B與E重合時，即m＝8，△BCD不存在；

②當S＝6，m＞8時，得出0.5m24m＝6，解方程求出m即可；

當S＝6，0＜m＜8時，得出0.5m2＋4m＝6，解方程求出m即可．

（1）∵點A（0，8），∴AO=8，

∵△AOB繞點A逆時針旋轉90°得△ACD，∴AC=AO=8，∠OAC=90°，∴C（8，8），

故答案為（8，8）；

（2）①延長DC交x軸于點E，∵點B（m，0），∴OB=m，

∵△AOB繞點A逆時針旋轉90°得△ACD，

∴DC=OB=m，∠ACD=∠AOB=90°，∠OAC=90°，∴∠ACE=90°，

∴四邊形OACE是矩形，∴DE⊥x軸，OE=AC=8，

分三種情況：

a、當點B在線段OE的延長線上時，如圖1所示：

則BE=OB﹣OE=m﹣8，∴S=0.5DCBE=0.5m（m﹣8），即S=0.5m2﹣4m（m＞8）；

b、當點B在線段OE上（點B不與O，E重合）時，如圖2所示：

則BE=OE﹣OB=8﹣m，∴S=0.5DCBE=0.5m（8﹣m），即S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；

c、當點B與E重合時，即m=8，△BCD不存在；

綜上所述，S=0.5m2﹣4m（m＞8），或S=﹣0.5m2+4m（0＜m＜8）；

②當S=6，m＞8時，0.5m2﹣4m=6，解得：m=4±2（負值舍去），∴m=4+2；

當S=6，0＜m＜8時，﹣0.5m2+4m=6，解得：m=2或m=6，

∴點B的坐標為（4+2，0）或（2，0）或（6，0）.