Question

【題目】我們定義：有一組對角相等的四邊形叫做“等對角四邊形”．

（1）如圖①，四邊形ABCD內接于⊙O，點E在CD的延長線上，且AE＝AD．證明：四邊形ABCE是“等對角四邊形”．

（2）如圖②，在“等對角四邊形”ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝53°，∠B＝90°，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈.

（3）如圖③，在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，CD＝4，若四邊形ABCD是“等對角四邊形”，且∠B＝∠D，則BD的最大值是　 ．（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）CD＝10；（3）BD的最大值是4+4．

【解析】

（1）證明∠B＝∠E，即可證明四邊形ABCE是“等對角四邊形”；

（2）過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，先證明四邊形EBFD為矩形，于是BE＝DF，BF＝DE，在Rt△CDF中，tan∠FCD＝＝tan53°＝，可設DF＝4x，CF＝3x，則CD＝5x， 則BE＝DF＝4x，DE＝BF＝18﹣3x，AE＝17﹣4x，在Rt△ADE中，∠A＝53°，tan∠A＝，于是3DE＝4AE，列出方程3（18﹣3x）＝4（17﹣4x），求得x＝2，即CD＝5x＝10；

（3）由∠ABC＝60°，可知點B在以AC為邊的等邊三角形的外接圓的上運動，當BD經過圓心O時，BD最長，即為B1D的長，求出即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD內接于⊙O，

∴∠B+∠ADC＝180°，

∵∠ADE+∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠ADE，

∵AE＝AD，

∠E＝∠ADE，

∴∠B＝∠E，

∴四邊形ABCE是“等對角四邊形”；

（2）如圖②，過點D作DE⊥AB于點E，DF⊥BC于點F，

∴∠BED＝∠BFD＝90°，

又∠B＝90°，

∴四邊形EBFD為矩形，

∴BE＝DF，BF＝DE，

在Rt△CDF中，

tan∠FCD＝＝tan53°＝，

設DF＝4x，CF＝3x ，則CD＝5x

∴BE＝DF＝4x，DE＝BF＝18﹣3x，AE＝17﹣4x，

在Rt△ADE中，∠A＝53°，tan∠A＝，

∴3DE＝4AE，

3（18﹣3x）＝4（17﹣4x），

∴x＝2，

CD＝5x＝10

（3）∵∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，

∴∠CDA＝60°，∠ABC＝60°，

∴點B在以AC為邊的等邊三角形的外接圓的上運動，

∴當BD經過圓心O時，BD最長，即為B1D的長，

如圖③，連接DO，與弧交于點B1，連接OC，作OE∥AC，與DC的延長線交于點E

∵∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，CD＝4，

∴AC＝4，

易知∠OCA＝30°，∠COE＝∠OCA＝30°，

∴OC＝OB＝4，CE＝2，OE＝，

∴DE＝CE+DC＝2+4＝6

∴OD＝，

∴DB1＝OD+OB1＝4+4，

則BD的最大值是4+4．

故答案為4+4．