Question

（2008•茂名）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-x²+bx+c經過A（0，-4）、B（x₁，0）、C（x₂，0）三點，且x₂-x₁=5．
（1）求b、c的值；
（2）在拋物線上求一點D，使得四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形；
（3）在拋物線上是否存在一點P，使得四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形？若存在，求出點P的坐標，并判斷這個菱形是否為正方形；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A（0，-4）代入可求c，運用兩根關系及x₂-x₁=5，對式子合理變形，求b；
（2）因為菱形的對角線互相垂直平分，故菱形的另外一條對角線必在拋物線的對稱軸上，滿足條件的D點，就是拋物線的頂點；
（3）∵四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，∴PH垂直平分OB，求出OB的中點坐標，代入拋物線解析式即可，再根據所求點的坐標與線段OB的長度關系，判斷是否為正方形．
解答：解：（1）解法一：∵拋物線y=-x²+bx+c經過點A（0，-4），
∴c=-4
又∵由題意可知，x₁、x₂是方程-x²+bx+c=0的兩個根，
∴x₁+x₂=b，x₁x₂=-c
由已知得（x₂-x₁）²=25
又∵（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂
=b²-24
∴b²-24=25
解得b=±
當b=時，拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．
∴b=-．
解法二：∵x₁、x₂是方程-x²+bx+c=0的兩個根，
即方程2x²-3bx+12=0的兩個根．
∴x=，
∴x₂-x₁==5，
解得b=±
當b=時，拋物線與x軸的交點在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．
∴b=-．

（2）∵四邊形BDCE是以BC為對角線的菱形，根據菱形的性質，點D必在拋物線的對稱軸上，
又∵y=-x²-x-4=-（x+）²+
∴拋物線的頂點（-，）即為所求的點D．

（3）∵四邊形BPOH是以OB為對角線的菱形，點B的坐標為（-6，0），根據菱形的性質，點P必是直線x=-3與
拋物線y=-x²-x-4的交點，
∴當x=-3時，y=-×（-3）²-×（-3）-4=4，
∴在拋物線上存在一點P（-3，4），使得四邊形BPOH為菱形．
四邊形BPOH不能成為正方形，因為如果四邊形BPOH為正方形，點P的坐標只能是（-3，3），但這一點不在拋物線上．
點評：本題考查了拋物線解析式的求法，根據菱形，正方形的性質求拋物線上符合條件的點的方法．