Question

（2008•茂名）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)A（0，-4）、B（x₁，0）、C（x₂，0）三點(diǎn)，且x₂-x₁=5．
（1）求b、c的值；
（2）在拋物線(xiàn)上求一點(diǎn)D，使得四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線(xiàn)的菱形；
（3）在拋物線(xiàn)上是否存在一點(diǎn)P，使得四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線(xiàn)的菱形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，并判斷這個(gè)菱形是否為正方形；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）把A（0，-4）代入可求c，運(yùn)用兩根關(guān)系及x₂-x₁=5，對(duì)式子合理變形，求b；
（2）因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線(xiàn)互相垂直平分，故菱形的另外一條對(duì)角線(xiàn)必在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，滿(mǎn)足條件的D點(diǎn)，就是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)；
（3）∵四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線(xiàn)的菱形，∴PH垂直平分OB，求出OB的中點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線(xiàn)解析式即可，再根據(jù)所求點(diǎn)的坐標(biāo)與線(xiàn)段OB的長(zhǎng)度關(guān)系，判斷是否為正方形．
解答：解：（1）解法一：∵拋物線(xiàn)y=-x²+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，-4），
∴c=-4
又∵由題意可知，x₁、x₂是方程-x²+bx+c=0的兩個(gè)根，
∴x₁+x₂=b，x₁x₂=-c
由已知得（x₂-x₁）²=25
又∵（x₂-x₁）²=（x₂+x₁）²-4x₁x₂
=b²-24
∴b²-24=25
解得b=±
當(dāng)b=時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．
∴b=-．
解法二：∵x₁、x₂是方程-x²+bx+c=0的兩個(gè)根，
即方程2x²-3bx+12=0的兩個(gè)根．
∴x=，
∴x₂-x₁==5，
解得b=±
當(dāng)b=時(shí)，拋物線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)在x軸的正半軸上，不合題意，舍去．
∴b=-．

（2）∵四邊形BDCE是以BC為對(duì)角線(xiàn)的菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)D必在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上，
又∵y=-x²-x-4=-（x+）²+
∴拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)（-，）即為所求的點(diǎn)D．

（3）∵四邊形BPOH是以O(shè)B為對(duì)角線(xiàn)的菱形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-6，0），根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P必是直線(xiàn)x=-3與
拋物線(xiàn)y=-x²-x-4的交點(diǎn)，
∴當(dāng)x=-3時(shí)，y=-×（-3）²-×（-3）-4=4，
∴在拋物線(xiàn)上存在一點(diǎn)P（-3，4），使得四邊形BPOH為菱形．
四邊形BPOH不能成為正方形，因?yàn)槿绻�四邊形BPOH為正方形，點(diǎn)P的坐標(biāo)只能是（-3，3），但這一點(diǎn)不在拋物線(xiàn)上．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線(xiàn)解析式的求法，根據(jù)菱形，正方形的性質(zhì)求拋物線(xiàn)上符合條件的點(diǎn)的方法．