Question

【題目】如圖，函數y=的圖象與雙曲線y=（k≠0，x＞0）相交于點A（3，m）和點B．

（1）求雙曲線的解析式及點B的坐標；

（2）若點P在y軸上，連接PA，PB，求當PA+PB的值最小時點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）雙曲線的解析式為y=，點B的坐標為（6，3）；點P的坐標為（0，5）．

【解析】分析：(1)由一次函數的解析式可得點A的坐標，從而求出反比例函數的解析式，解由一次函數與反比例函數的解析式組成的方程組可求點B的坐標；(2)作點A關于y軸的對稱點A′，連接A′B，直線A′B與y的交點即為點P，用待定系數法求直線A′B的解析式后即可求點P的坐標.

詳解：(1)把A(3，m)代入y＝2x，可得m＝2×3＝6，∴A(3，6)，

把A(3，6)代入y＝，可得k＝3×6＝18，

∴雙曲線的解析式為y＝；

當x>3時，解方程組，可得或(舍去)

∴點B的坐標為(6，3).

(2)如圖所示，作點A關于y軸的對稱點A′(－3，6)，連接A′P，則A′P＝AP，

∴PA＋PB＝A′P＋BP≥A′B

當A′，P，B三點共線時，PA＋PB的最小值等于A′B的長.

設A′B的解析式為y＝ax＋b，

把A′(－3，6)，B(6，3)代入，可得，解得.

∴A′B的解析式為y＝x＋5，

令x＝0，則y＝5，

∴點P的坐標為(0，5).