Question

（2006•西崗區(qū)）如圖，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂，△P₃A₂A₃…△P_nA_n-1A_n都是等腰直角三角形，點(diǎn)P₁、P₂、P₃…P_n都在函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，斜邊OA₁、A₁A₂、A₂A₃…A_n-1A_n都在x軸上．
（1）求A₁、A₂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）猜想A_n點(diǎn)的坐標(biāo)．（直接寫(xiě)出結(jié)果即可）

Answer 1

【答案】分析：（1）首先根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，知點(diǎn)P₁的橫、縱坐標(biāo)相等，再結(jié)合雙曲線(xiàn)的解析式得到點(diǎn)P₁的坐標(biāo)是（2，2），則根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一求得點(diǎn)A₁的坐標(biāo)；同樣根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)、點(diǎn)A₁的坐標(biāo)和雙曲線(xiàn)的解析式求得A₂點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)A₁、A₂點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可推而廣之．
解答：解：（1）可設(shè)點(diǎn)P₁（x，y），
根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得：x=y，
又∵y=，
則x²=4，
∴x=±2（負(fù)值舍去），
再根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一，得A₁的坐標(biāo)是（4，0），
設(shè)點(diǎn)P₂的坐標(biāo)是（4+y，y），又∵y=，則y（4+y）=4，即y²+4y-4=0
解得，y₁=-2+2，y₂=-2-2，
∵y＞0，
∴y=2-2，
再根據(jù)等腰三角形的三線(xiàn)合一，得A₂的坐標(biāo)是（4，0）；

（2）可以再進(jìn)一步求得點(diǎn)A₃的坐標(biāo)是（4，0），推而廣之，則A_n點(diǎn)的坐標(biāo)是（4，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是要根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的解析式進(jìn)行求解．