Question

如圖，一次函數y=-2x的圖象與二次函數y=-x²+3x圖象的對稱軸交于點B．
（1）寫出點B的坐標

 

；
（2）已知點P是二次函數y=-x²+3x圖象在y軸右側部分上的一個動點，將直線y=-2x沿y軸向上平移，分別交x軸、y軸于C、D兩點．若以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，則點P的坐標為

 

．

Answer 1

分析：（1）由y=-x²+3x可知圖象的對稱軸為x=-

3

2×(-1)

=

3

2

，將x=

3

2

代入y=-2x中，可求B點坐標；
（2）設D（0，2a），則直線CD解析式為y=-2x+2a，可知C（a，0），以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，分為∠CDP=90°和∠DCP=90°兩種情況，分別求P點坐標．

解答：解：（1）∵拋物線y=-x²+3x的對稱軸為x=-

3

2×(-1)

=

3

2

，
∴當x=

3

2

時，y=-2x=-3，即B點（

3

2

，-3）；

（2）設D（0，2a），則直線CD解析式為y=-2x+2a，可知C（a，0），即OC：OD=1：2，
則OD=2a，OC=a，根據勾股定理可得：CD=

5

a．
以CD為直角邊的△PCD與△OCD相似，
當∠CDP=90°時，

若PD：DC=OC：OD=1：2，則PD=

5

2

a，設P的橫坐標是x，則P點縱坐標是-x²+3x，
根據題意得：

x2+(-x2+3x-2a) 2=( 5 a 2 ) 2 ( 5 a) 2+( 5 a 2 )2=(-x2+3x) 2+(x-a)2

，
解得：

x= 1 2 a= 1 2

，
則P的坐標是：（

1

2

，

5

4

），
若DC：PD=OC：OD=1：2，同理可以求得P（2，2），
當∠DCP=90°時，

若PC：DC=OC：OD=1：2，則P（

11

4

，

11

16

），若DC：PD=OC：OD=1：2，則P（

13

5

，

26

25

）．
故答案為：（2，2），（

1

2

，

5

4

），（

11

4

，

11

16

），（

13

5

，

26

25

）．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是利用平行線的解析式之間的關系，相似三角形的判定與性質，分類求解．